9.4. ЭФФЕКТЫ КОНЕЧНОЙ РАЗРЯДНОСТИ РЕГИСТРОВ ПРИ ПОСТРОЕНИИ ЦИФРОВЫХ КИХ-ФИЛЬТРОВ

Приведенный в предыдущем параграфе анализ эффектов квантования при построении БИХ-фильтров можно также использовать для изучения эффектов квантования в цифровых КИХ-фильтрах, и даже в некоторых отношениях этот анализ для КИХ-фильтров проще. В частности, при построении нерекурсивных фильтров в прямой или каскадной форме отсутствуют эффекты предельного цикла, так как эти структуры не имеют обратной связи. Если импульсная характеристика имеет длину в выборок, то выходной сигнал при построении нерекурсивного КИХ-фильтра в прямой или каскадной форме должен быть равен нулю после того, как на его вход поступит последовательных выборок. Однако для рекурсивных КИХ-систем и, в частности, структур на основе частотной выборки характерны проблемы, рассмотренные в § 9.3. В [19] показано, что анализ систем второго порядка возможен при использовании метода частотной выборки.

В КИХ-системах (так же, как и в БИХ-системах) важные вопросы связаны с ограничением динамического диапазона и уровнем шума округления. Здесь мы рассмотрим некоторые из этих вопросов применительно к построению систем в прямой или каскадной форме с фиксированной и плавающей запятыми. Главная цель состоит в том, чтобы на ряде простых примеров дать понятия о некоторых эффектах квантования и общих результатах при построении цифровых КИХ-фильтров.

9.4.1. СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КВАНТОВАНИЯ ПРИ ПОСТРОЕНИИ ЦИФРОВЫХ КИХ-ФИЛЬТРОВ С ФИКСИРОВАННОЙ ЗАПЯТОЙ

Рассмотрим линейную инвариантную к сдвигу систему с импульсной характеристикой имеющей ненулевые значения для Построение такой системы в прямой форме соответствует непосредственному выполнению соотношения для сверточной суммы

На рис. 9.12 а показан направленный граф построения системы в. прямой форме, а на рис. 9.12 б — та же структура с включением источников шума, характеризующих эффекты округления результатов умножения Постоянный коэффициент А вводится для исключения возможности переполнения. При этом, как ранее, предполагается, что

1) источники являются источниками белого шума;

2) ошибки равномерно распределены на каждом интервале квантования;

Рис. 9.12. Прямая форма построения КИХ-системы с фиксированной запятой: а) идеальная линейная система; б) статистическая модель для шума округления

3) источники ошибок некоррелированны с входным сигналом и между собой.

Предположим, что . Тогда из рис. 9.12б следует, что шумы каждого из источников суммируются непосредственно на выходе; в результате выходной шум равен Так как источники шума полагались независимыми, то дисперсия выходного шума (при округлении) имеет величину а среднее значение равно нулю. Отметим, что при прямой форме построения уровень выходного шума не зависит от параметров фильтра, поскольку шумы показанных источников не обрабатываются фильтром. Отметим также, что уровень выгодного шума пропорционален длине импульсной характеристики.

Ограничение динамического диапазона арифметического устройства с фиксированной запятой обусловливает необходимость масштабирования входного сигнала для исключения переполнения. Было показано (9.25), что наименьшей верхней границей для выходного сигнала линейной инвариантной к сдвигу системы является

где — максимальная амплитуда входного сигнала. Отсутствие переполнения гарантируется при условии для всех Это означает, что входной масштабирующий коэффициент Л должен удовлетворять неравенству

Такое масштабирование уместно для широкополосного сигнала (типа белого шума), однако оно является чрезмерным в случае узкополосного (например, синусоидального) сигнала. Было показано, что при узкополосном сигнале входная последовательность должна нормироваться максимальным значением частотной характеристики системы. Таким образом, другим вариантом выбора входного масштабирующего коэффициента является

Необходимо отметить, что при использовании в арифметическом устройстве дополнительного кода, когда количество суммируемых чисел больше двух (как показано на рис. 9.12), могут происходить переполнения при вычислении промежуточных сумм; при этом конечный результат будет верным, если его величина не превосходит единицу. Поэтому использование маштабирования на входе в соответствии с (9.66) будет всегда давать правильный результат на выходе для прямой формы построения системы (за исключением, конечно, шума округления).

Цифровой КИХ-фильтр можно построить на основе каскадного соединения блоков второго порядка, как показано на рис. 9.13 а, где определена прямой формой построения блоков, показанной на рис. 9.12 а.

Рис. 9.13. Каскадная форма построения КИХ-системы с фиксированной запятой: а) идеальная линейная система; б) статистическая модель для шума округления

Для удобства полагается нечетным, при этом Поскольку каждый блок второго порядка имеет три независимых источника белого шума на выходе, то эффекты квантования можно показать на рис. 9.13б, где каждый источник генерирует шум с дисперсной При такой форме построения шумы источника будут фильтроваться последующими блоками, при этом дисперсия выходного шума будет зависеть от порядка размещения блоков в цепи. Если обозначить через импульсную характеристику от источника шума до выхода, то

а общая дисперсия выходного шума

В каскадной структуре для получения правильного конечного результата необходимо исключить возможность переполнения на выходе любого блока второго порядка. Таким образом, необходимо вводить операцию масштабирования на входе каждого блока. Как ранее отмечалось, такая операция использовалась в общем случае при прямой форме построения системы.

Из (9.68) и (9.69) следует, что дисперсии выходных шумов зависят от порядка размещения блоков. При наличии М блоков существует возможных вариантов их размещения и, очевидно, в случае больших М исчерпывающий поиск наилучшего варианта неосуществим. Тем не менее Чаном (Chan) и Рабинером [20—22] на основе экспериментальных исследований фильтров нижних частот было установлено, что для большинства вариантов упорядочения размещения блоков обеспечивается приемлемый уровень шума. Кроме того, ими был дан алгоритм для выбора хорошего варианта упорядочения размещения блоков. Их результаты показывают, что хорошим вариантом упорядочения размещения блоков является тот, при котором частотная характеристика переходной характеристики от каждого источника шума до выхода оказывается относительно плоской и ее максимальная величина сравнительно небольшой.