8.2.2. СРЕДНИЕ ПО ВРЕМЕНИ

Как неоднократно отмечалось, понятие ансамбля сигналов с бесконечной энергией оказывается удобной математической концепцией, которая позволяет использовать теорию вероятностей для

представления сигналов с бесконечной энергией. Однако на практике мы предпочли бы иметь дело с одиночной последовательностью, нежели с бесконечным ансамблем последовательностей. Например, мы могли пожелать получить закон распределения или конкретные средние величины для описания этого случайного процесса на основании измерений только единственного представителя ансамбля последовательностей. Напомним, что для процесса Бернулли распределения вероятностей не зависят от времени и поэтому мы могли интуитивно почувствовать, что процентный состав в течение длительного промежутка одиночной выборочной последовательности будет очень близок к соответственно. Аналогичным образом арифметическое среднее значение большого числа выборок одиночной последовательности будет очень близко к среднему значению процесса Бернулли. Чтобы формализовать эти интуитивные понятия, определим среднее по времени или временное среднее значение случайного процесса как

Аналогичным образом временная автокорреляционная последовательность определяется в виде

Может быть показано, что представленные выше пределы существуют, если является стационарным процессом с конечным средним значением. Однако доказательство этого результата не входит в сферу нашего рассмотрения. Как было определено и (8.28), эти временные средние значения являются функциями бесконечного множества случайных величин и, таким образом, сами могут рассматриваться как случайные величины. Тем не менее при выполнении условия, известного как условие эргодичности, временные средние значения в (8.27) и (8.28) равны некоторым постоянным в том смысле, что временные средние почти всех возможных выборочных последовательностей равны этим константам. Более того, они равны соответствующим средним значениям по ансамблю. Это значит, что для любой одиночной выборочной последовательности при

и

Оператор временного среднего значения о обладает теми же самыми свойствами, что и оператор среднего значения по ансамблю Поэтому мы часто не будем затрудняться в различии между случайной величиной и ее значением в выборочной последовательности Например, выражение будем интерпретировать как . В общем случае случайный процесс, для которого временные средние равны средним по ансамблю, называется эргодическим процессом [5, 6].

На практике обычно принято считать, что данная последовательность является выборочной последовательностью эргодического случайного процесса. Поэтому средние могут быть вычислены из одиночной последовательности с бесконечной энергией. Конечно в общем случае мы не можем вычислить пределы (8.29) и (8.30), но величины

или подобные величины часто вычисляются на практике для оценки такого среднего значения и автокорреляции [8, 9]. Нахождение оценки средних случайного процесса из конечной выборки данных является задачей статистики, которую мы будем рассматривать в гл. 11.