11.4.3. УСРЕДНЕНИЕ МОДИФИЦИРОВАННЫХ ПЕРИОДОГРАММ (МЕТОД УЭЛЧА)

В работе Уэлча была введена модификация процедуры Бартлета, которая особенно хорошо приспособлена для вычисления оценки спектра мощности с помощью БПФ. Выборочные данные опять разбиваются на отрезков, по М выборок каждый, в соответствии с выражением (11.45). Однако в этом случае окно применяется непосредственно к отрезкам данных до вычисления периодограммы. Таким образом, мы определяем К модифицированных периодограмм

и оценка спектра определяется выражением

Можно показать, что математическое ожидание равно :

Нормирующий множитель необходим для того, чтобы оценка была асимптотически несмещенной. Уэлч [9] показал, что если отрезки не перекрываются, то что, как мы видели, имеет место для процедуры Бартлета. Уэлч [9] также рассматривает случай, когда отрезки перекрываются и модифицированные периодограммы не независимы. Таким образом, взвешиванием отрезков данных до вычисления периодограммы достигается уменьшение дисперсии исходной процедуры Бартлета и в то же время сглаживание спектра с сопутствующим ему ухудшением разрешающей способности. В этом случае спектральное окно пропорционально квадрату модуля преобразования Фурье исходного окна, а не просто его преобразованию Фурье. Это означает, что при любой функции окна, с которой взвешиваются исходные данные, спектральное окно будет неотрицательно и спектральная оценка будет также неотрицательна.