9.4.2. СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЭФФЕКТОВ КВАНТОВАНИЯ ПРИ ПОСТРОЕНИИ ЦИФРОВЫХ КИХ-ФИЛЬТРОВ С ПЛАВАЮЩЕЙ ЗАПЯТОЙ

При использовании в цифровых КИХ-фильтрах арифметического устройства с плавающей запятой по существу не возникает проблема ограничения динамического диапазона. Это особенно важно при реализации фильтра программным путем на универсальной ЦВМ, когда главным условием является простота программирования, а не скорость вычислений. Однако высокая сложность арифметического устройства с плавающей запятой часто не может быть реализована при построении специализированных устройств, для которых фактор экономичности является основным.

Рассмотрим прямую форму построения КИХ-системы, представленную на рис. 9.14а. На рис. 9.146 показана модель системы с учетом представления коэффициентов и переменных с ограниченной точностью в арифметическом устройстве с плавающей запятой. Коэффициенты изменяются во времени и характеризуют эффекты округления результатов умножения и сложения соответственно. Как и ранее, последовательности предполагаются независимыми последовательностями белого шума с равномерным распределением амплитуд. В этом случае использование неинвариантной к сдвигу

модели системы приводит к более компактной системе уравнений, чем при использовании инвариантной к сдвигу модели с источниками аддитивного шума.

Рис. 9.14. Прямая форма построения КИХ-системы с плавающей запятой: а) идеальная линейная система; б) статистическая модель для шума округления

Здесь приводится тот же анализ, который использовался Лиу (Liu) и Канеко (Kaneko) [16] для изучения прямой формы построения БИХ-систем на основе модели этого типа. Выходной сигнал системы, показанной на рис. 9.14, равен

(см. скан)

Если предположить, что то из (9.70a) следует, что

Можно показать, что величина имеет нулевое среднее значение, поэтому и выходной шум будет иметь нулевое среднее. Общее выражение для дисперсии выходного шума имеет вид

Если на входе присутствует случайный сигнал с равномерной спектральной плотностью мощности и дисперсией то (9.72) можно переписать так:

Из (9.70б) и (9.70в) с учетом предположений, сделанных относительно величин следует, что

Следует отметить, что (9.74б) дает незначительную ошибку при Кроме того, поскольку практически всегда то (9.74б) при использовании биномиальной аппроксимации принимает вид

Поэтому дисперсия равна

Отсюда следует ряд выводов. Во-первых, мощность выходного шума (как и при фиксированной запятой) пропорциональна N. Во-вторых, видно, что

при этом отношение шум/сигнал на выходе, когда на входе присутствует сигнал с равномерной спектральной плотностью мощности, ограничено величиной

В заключение, ссылаясь на рис. 9.14б, следует напомнить, что

вычисление произведений и накопление промежуточных результатов осуществлялось в порядке возрастания индекса Кроме того, из (9.76) следует, что значения произведений, формируемых первыми, больше других подвержены действию весового множителя

Таким образом, минимальная дисперсия шума на выходе получается, когда импульсная характеристика удовлетворяет условию Как правило, это не выполняется. Однако при суммировании произведений в порядке возрастания значений импульсной характеристики может быть получена наименьшая средняя ошибка. Следует напомнить, что при построении фильтров с фиксированной запятой такая ошибка не зависит от порядка суммирования. Выполнение умножений и образование частичных сумм, осуществляемых не в порядке прямой последовательности, будет, как правило, приводить к дополнительному усложнению программы или аппаратуры. Однако это может быть оправдано, когда необходима наивысшая точность. Следует иметь в виду, что существуют и другие способы упорядочения операций суммирования, также приводящие к уменьшению шума на выходе.