11.3.2. ДИСПЕРСИЯ ПЕРИОДОГРАММЫ

Чтобы получить выражение для дисперсии периодограммы, удобно сначала предположить, что последовательность является реализацией действительного белого процесса с нулевым средним и гауссовой плотностью вероятности. Периодограмму можно записать в виде

Чтобы оценить ковариацию на двух частотах рассмотрим сначала

Упростим выражение (11.36). В общем случае не представляется возможным получить очень простой результат, даже когда белый шум, потому что равенство не гарантирует простое выражение для для всех комбинаций Однако в случае белого гауссова процесса можно показать [7], что

Следовательно,

Для других совместных плотностей вероятностей результат не обязательно будет таким простым, но наша цель в том, чтобы понять проблемы оценки спектра, а не в том, чтобы получить общую

формулу, которая была бы применима во многих случаях и неизбежно была бы трудна для интерпретации. Если подставить (11.37) в (11.36), то

(Если сигнал не гауссов (11.38) содержит добавочные члены, пропорциональные Ковариация периодограммы равна

Так как то из (11.38) и (11.39) получим

Из (11.40) можно получить несколько интересных выводов относительно периодограммы. Дисперсия оценки спектра на частоте равна

Ясно, что дисперсия не стремится к нулю при стремящемся к бесконечности. Поэтому периодограмма не является состоятельной оценкой. В действительности имеет порядок при любом

Из (11.40) также видно, что для частот где и — целое число,

выражение (11.42) равно нулю при Таким образом, значения периодограммы, разнесенные по частоте на величину, кратную некоррелированны. При увеличении эти некоррелированные частотные выборки приближаются друг к другу. Можно

ожидать, что хорошая оценка спектра мощности будет приближаться к константе при увеличении так как мы предположили, что сигнал является белым процессом. Вследствие того, что дисперсия периодограммы приближается к ненулевой постоянной и что расстояние между некоррелированными спектральными выборками уменьшается при увеличении скорость флуктуации периодограммы увеличивается при увеличении длины отрезка реализации.

Рис. 11.3. Периодограммы, показывающие увеличение флуктуаций с ростом

Это иллюстрируется рис. 11.3, где изображена периодограмма для .