11.3.2. ДИСПЕРСИЯ ПЕРИОДОГРАММЫ
Чтобы получить выражение для дисперсии периодограммы, удобно сначала предположить, что последовательность
является реализацией действительного белого процесса с нулевым средним и гауссовой плотностью вероятности. Периодограмму
можно записать в виде
Чтобы оценить ковариацию
на двух частотах
рассмотрим сначала
Упростим выражение (11.36). В общем случае не представляется возможным получить очень простой результат, даже когда
белый шум, потому что равенство
не гарантирует простое выражение для
для всех комбинаций
Однако в случае белого гауссова процесса можно показать [7], что
Следовательно,
Для других совместных плотностей вероятностей результат не обязательно будет таким простым, но наша цель в том, чтобы понять проблемы оценки спектра, а не в том, чтобы получить общую
ожидать, что хорошая оценка спектра мощности будет приближаться к константе при увеличении
так как мы предположили, что сигнал является белым процессом. Вследствие того, что дисперсия периодограммы приближается к ненулевой постоянной и что расстояние между некоррелированными спектральными выборками уменьшается при увеличении
скорость флуктуации периодограммы увеличивается при увеличении длины отрезка реализации.
Рис. 11.3. Периодограммы, показывающие увеличение флуктуаций с ростом
Это иллюстрируется рис. 11.3, где изображена периодограмма для
.