4.7. ТЕОРЕМА ТЕЛЕДЖЕНА ДЛЯ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ

Теорема Теледжена является важной основополагающей теоремой общей теории цепей [17]. Эта теорема достаточно проста, и многие положения теории цепей (сохранение энергии, взаимности и т. д.) могут быть получены как ее следствие.

Поскольку цепи цифровых фильтров не подчиняются законам Кирхгофа, теорема Теледжена в ее наиболее общей форме не может быть применена к ним. Однако можно предложить формулировку теоремы Теледжена, из которой вытекает ряд полезных свойств цифровых цепей.

Формулировка теоремы Теледжена для цифровых фильтров впервые была получена Севайэра (Seviora) и Сэблэтэшем (Sablatash) [18]. Другая ее формулировка была предложена «Фитвейсом (Feetweis) [19], которой мы будем далее пользоваться, опираясь на материал по направленным сигнальным графам, изложенный в § 4.1.

В классической теории цепей теорема Теледжена выражает связь между распределениями напряжений в одной цепи и токов в другой, когда единственным признаком общности цепей является то, что они имеют одинаковую топологию. Подобным же образом для направленных сигнальных графов мы будем рассматривать два графа с одинаковой топологией, но не связанных между собой в каких-либо других отношениях. Под «одинаковой топологией» мы понимаем то, что существует однозначное соответствие между узлами и ветвями в таких двух цепях (в смысле их расположений и направлений). Важно заметить, однако, что требование топологической эквивалентности не является относительно трудным. В частности, рассматривая любой граф, имеющий ветвь в каждом направлении между парой узлов с нулевой передачей некоторых ветвей, можно любые два графа с одинаковым числом узлов рассматривать как топологически эквивалентные.

В последующем будет удобно принять, что каждая цепь выверчивается таким способом, чтобы каждый узел цепи имел связанный с ним истоковый узел, соединенный с ним ветвью с единичной передачей. Кроме того, будем полагать, что этот истоковый узел не связан с другими узлами цепи. Каждый истоковый узел будет нумероваться так, чтобы соответствовать связанному с ним узлу цепи, т. е. так, что истоковый узел является входом для узла цепи Если истоковый узел и соответствующая ветвь не вычерчены, то это означает, что величина истокового узла является нулевой.

Теорема Теледжена. Рассмотрим два направленных сигнальных графа с одинаковой топологией. Пусть обозначает число узлов цепи. Узловые переменные цепи, выходные сигналы ветви и величины истоковых узлов в первой цепи обозначены соответственно и во второй цепи Тогда

Доказательство равенства (4.62) следует почти непосредственно из определения направленного сигнального графа. Напомним, что выходные сигналы ветвей связаны с узловыми переменными и входными сигналами истоков соотношением и поэтому с учетом принятого обозначения для истоковых узлов получим

Теперь можно записать тождество

Выражение (4.62) получается непосредственно подстановкой (4.63) в (4.64). Выражение (4.62) будет рассматриваться далее как теорема Теледжена для направленных сигнальных графов или, что эквивалентно, для цифровых цепей. Важно, что ее вывод, зависит только от соотношения (4.63) при этом не чтобы граф был линейным. Кроме того, можно просто показать, что если переменные получаются с помощью линейной операции из соответственно, то

Таким образом, теорема Теледжена применима либо к последовательности величин [см. (4.62)], либо к -преобразованиям [см. (4.65).

В дальнейшем мы будем касаться только линейных направленных сигнальных графов, которые соответствуют цифровым цепям. Чтобы разъяснить записи идентичных топологий и переменных со штрихами и без штрихов, рассмотрим две цепи, показанные на рис. 4.39. Для подчеркивания эквивалентности их: топологий на рис. 4.39 показаны пунктирными линиями ветви с

нулевой передачей. Обычно, конечно, подобные ветви не будут изображаться.

Рис. 4.39. Пример двух топологически эквивалентных цепей, удовлетворяющих теореме Теледжена