2.5. ДВУМЕРНОЕ Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

Из гл. 1 видно, что многие понятия и свойства одномерных дискретных сигналов и систем можно распространить на многомерные сигналы и системы. В предыдущих разделах этой главы рассмотрено -преобразование применительно к одному измерению. В этом разделе рассмотрим, как распространяются эти результаты на двумерный случай.

Двумерное z-преобразование последовательности определяется следующим образом:

где — комплексные переменные. Выражая в полярной форме выражение (2.58) можно записать в виде

Таким образом, как и в одномерном случае, двумерное -преобразование можно трактовать как двумерное преобразование Фурье от умноженной на двумерную экспоненциальную

последовательность При т. е. при -преобразование совпадает с преобразованием Фурье. Для сходимости двумерного -преобразования мы потребуем, чтобы последовательность была абсолютно суммируемой, т. е. чтобы

Множество значений при которых сходится двумерное -преобразование, называется областью сходимости.

Обратное двумерное -преобразование может быть получено путем применения обратного преобразования Фурье (1.44) к выражению (2.59)

Оно может быть также представлено в виде контурного интеграла

где — замкнутые контуры в области сходимости, окружающие начало координат. В противоположность одномерному -преобразованию обычно очень трудно определить область сходимости а следовательно, и контуры интегрирования

Двумерное -преобразование называется разделимым, если его можно представить в виде Преобразование вида будет разделимым только тогда, когда разделима последовательность которая порождает В этом случае — одномерные -преобразования соответственно.

Все свойства одномерных -преобразований, сведенных в табл. 2.1, легко распространяются на два измерения, что отражено в табл. 2.2. Доказательства этих свойств аналогичны соответствующим доказательствам для одномерного случая.

Двумерное -преобразование свертки двух двумерных последовательностей равно произведению их -преобразований. Следовательно, соотношение вход — выход для двумерных линейных инвариантных к сдвигу систем, выраженное через -преобразование, соответствует произведению -преобразований входного сигнала и импульсной характеристики. Как и в случае одного измерения, двумерное -преобразование импульсной характеристики называется передаточной (системной) функцией. Передаточная функция, вычисленная при совпадает с частотной характеристикой системы.

В том случае, когда система описывается линейным разностным уравнением с постоянными коэффициентами, ее

ТАБЛИЦА 2.2 (см. скан)

передаточная функция есть отношение полиномов двух переменных. В частности, если вход и выход удовлетворяют разностному уравнению

то, применяя -преобразования к обеим частям уравнения. и используя свойства, приведенные в табл. 2.2, получим

откуда определяется передаточная функция

В одномерном случае, когда передаточная функция равнялась отношению полиномов, ее можно было описать полюсами и нулями, т. е. корнями полиномов в числителе и знаменателе. В противоположность этому полином двух переменных общего вида не

может быть разложен на аналогичные сомножители. В этом основное отличие двумерного случая от одномерного.

При сравнении условия устойчивости (1.38) двумерных линейных инвариантных к сдвигу систем с требованием сходимости (2.60) двумерного -преобразования видно, что система устойчива тогда и только тогда, когда передаточная функция сходится при . Для одномерных физически реализуемых систем об устойчивости можно было легко судить по расположению полюсов. В том случае необходимым и достаточным условием устойчивости было условие, что все полюса передаточной функции лежат внутри единичного круга. В частном случае, когда импульсная характеристика или, что эквивалентно, передаточная функция разделима, то же самое условие применимо для анализа устойчивости физически реализуемого фильтра. Это следует из того, что в данном частном случае при импульсная характеристика абсолютно суммируема тогда и только тогда, когда абсолютно суммируемы Поэтому физически реализуемая разделимая система будет устойчивой тогда и только тогда, когда полюсы лежат внутри единичного круга ггплоскости, а полюсы лежат внутри единичного круга -плоскости.

В общем случае необходимым и достаточным условием для того, чтобы отношение полиномов двух переменных соответствовало передаточной функции физически реализуемой устойчивой системы, является неравенство нулю знаменателя при . Это условие согласуется с вышеприведенным условием для разделимой системы, так как, например, наличие полюса вне единичного круга, т. е. при приведет к тому, что полином знаменателя будет равен нулю при этом значении и при всех значениях включая и те, когда

Один из путей применения приведенной теоремы об устойчивости — разложение полинома в знаменателе, как полинома от на элементарные сомножители; при этом корни будут функциями от . В этом случае полюсы являются функциями и мы требуем, чтобы эти полюсы лежали внутри единичного круга -плоскости при

Пример. Рассмотрим вида или

Поэтому корни знаменателя равны

Для устойчивости необходимо, чтобы для всех модуль гдаваемый выражением (2.66), был меньше единицы, т. е. или . Это условие можно переписать как Непосредственно проверяется, что при это неравенство не удовлетворяется и, следовательно, передаточная функция (2.65) не соответствует устойчивой системе.

Ясно, что обсужденное условие устойчивости трудно применять на практике. Имеется ряд других формулировок условий устойчивости, которые мы не будем приводить, менее прозрачных с точки зрения теории, но более простых при применении на практике.