11.3.3. ОБЩИЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ДИСПЕРСИИ
Предыдущие рассуждения касались оценки спектра белого шума. Если рассматриваемый процесс гауссов, но не белый, то анализ значительно затрудняется. При расчете ковариации между спектральными выборками в этом более общем случае полезно придерживаться эвристического подхода и вывести приближенное выражение. Мы будем придерживаться этого подхода; более строгий вывод дан Дженкинсом и Ваттсом [5]. Основой для данного эвристического подхода является то, что небелая (окрашенная) последовательность может генерироваться при воздействии белого шума на линейную систему. Спектральная плотность мощности выходного шума равна произведению спектральной плотности на входе на квадрат модуля частотной характеристики системы. Рассмотрим выборку небелого шума длины 
Конечно неверно считать, что отрезок небелого шума получается путем фильтрации отрезка белого шума линейной системой из-за наличия переходных процессов в начале и в конце отрезка. Тем не менее если длина выборки велика по сравнению с длительностью импульсной характеристики фильтра, то кажется вероятным, что выборка небелого шума может быть аппроксимирована таким образом.
Теперь рассмотрим небелый гауссов процесс со спектральной плотностью мощности 
Пусть 
обозначает отрезок небелого шума, состоящий из 
точек, и пусть 
обозначает такой же отрезок белого шума с единичной дисперсией. Тогда наша аппроксимация состоит в том, что 
является результатом обработки 
линейной системой, квадрат модуля частотной характеристики которой равен 
Обозначая через 
периодограмму окрашенного шума, а через 
- периодограмму белого шума, имеем
и так как 
, то
Следовательно, используя (11.40), ковариацию периодограммы можно приближенно выразить в виде
Если вычислить (11.43) при частотах, разнесенных на величину, кратную 
то снова убедимся, что выборки периодограммы на этих частотах некоррелированны. Кроме того, дисперсия периодограммы равна
так что при увеличении 
дисперсия становится пропорциональной квадрату спектра. Таким образом, в общем случае периодограмма не является состоятельной оценкой и можно ожидать, что она будет сильно флуктуировать около истинного значения спектра. Хотя результаты, выведенные в этом параграфе, были основаны на допущении, что плотности вероятностей являются гауссовыми, они качественно справедливы и для более широкого класса распределений.
