4.6.1. ЭФФЕКТЫ КВАНТОВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ В БИХ-СИСТЕМАХ

Эффекты квантования параметров проявляются в отклонениях характеристик фильтра от заданной частотной характеристики или, что эквивалентно, в смещении полюсов и нулей от требуемого положения [11—13]. Поэтому одной из мер чувствительности данной реализации цепи к квантованию параметров является ошибка в положении полюсов и нулей, обусловленная ошибкой в умножителях на константы в цепи.

Чтобы показать, как квантование параметра влияет на положение полюсов и нулей, рассмотрим передаточную функцию, выраженную в виде

Коэффициенты являются требуемыми коэффициентами при прямой форме построения системы. При квантованных коэффициентах мы, в действительности, реализуем систему с передаточной функцией

где

Допустим, что полюсы располагаются в точках т. е. знаменатель полинома передаточной функции, представленный в виде сомножителей, равен

Кроме того, определим полюсы при где

N. Ошибка может быть выражена через ошибки в коэффициентах:

На основании (4.58) и того факта, что следует, что

Выражение (4.60) является мерой чувствительности полюса к изменению (ошибке) в коэффициенте знаменателя полинома [Этот результат справедлив только для простых полюсов, как это видно из Поскольку при прямой форме построения нули зависят только от коэффициентов числителя аналогичный результат может быть получен для чувствительности нулей к ошибкам в коэффициентах

Результат такого представления был впервые использован Кайзером [12, 13], чтобы показать, что если полюсы (или нули) плотно сгруппированы, то возможно, что небольшие ошибки в коэффициентах могут обусловить большие смещения полюсов (или нулей). Это можно увидеть при рассмотрении знаменателя выражения (4.60). Каждый множитель можно представить как вектор в -плоскости, как показано на рис. 4.30.

Рис. 4.30. Представление сомножителей выражения (4.58) в виде векторов на z-плоскости в случаях: а) фильтра с узкой полосой пропускания; б) узкополосного фильтра нижних частот

Величина знаменателя в (4.60) равна произведению длин векторов из всех оставшихся полюсов до полюса Поэтому если полюсы (или нули) оказываются плотно сгруппированными, как на рис. 4.30 а соответственно фильтру с узкой полосой пропускания или как на рис. 4.306 соответственно узкополосному фильтру нижних

частот, то можно ожидать, что полюсы при прямой форме построения будут довольно чувствительны к ошибкам квантования коэффициентов. К тому же очевидно, что чем больше число корней, тем выше чувствительность.

При каскадной и параллельной формах построения систем, с другой стороны, каждая пара комплексно-сопряженных полюсов реализуется отдельно. Таким образом, ошибка для данного полюса является не зависимой от его расстояния до других полюсов системы. Поэтому в общем случае, с точки зрения квантования параметров, каскадная и параллельная формы оказываются предпочтительными перед прямыми формами. Это особенно справедливо в случае узкополосных частотно-избирательных фильтров с плотно сгруппированными полюсами и нулями.

Даже для систем второго порядка, используемых при построении каскадной и параллельной форм, сохраняется некоторая искаженность. Рассмотрим комплексно-сопряженную пару полюсов, полученную при использовании прямой формы построения, как показано на рис. 4.31. При представлении коэффициентов с неограниченной точностью эта цепь имеет полюсы в точках

Рис. 4.31. Прямая форма выполнения пары комплексно-сопряженных полюсов

Рис. 4.32. Сетка возможных положений полюсов цепи на рис. 4.31 при трехразрядном квантовании коэффициентов

Однако, если коэффициенты квантованы, то очевидно, что полюсы могут располагаться только в дискретном множестве точек. При известном способе квантования полюсы должны располагаться на сетке точек на -плоскости, образованной пересечением концентрических окружностей (соответствующих квантованным значениям и вертикальных прямых (соответствующих квантованным значениям Такая сетка точек, соответствующая трехразрядному квантованию обоих коэффициентов, изображена на рис. 4.32, т. е. ограничены вплоть до восьми различных значений. Другой формой построения является связанная форма, предложенная Голдом и Рэйдером [9] и показанная на рис. 4.33. Нетрудно видеть, что передаточные функции цепей рис. 4.31 и 4.33 имеют те же самые полюсы при представлении коэффициентов с неограниченной точностью. Для построения цепи, показанной на рис. 4.33, необходимо

выполнить квантование коэффициентов таким образом, можно получить дискретное множество положений полюсов, как показано на рис. 4.34. Ясно, что можно получить гораздо больше различных структур, каждая из которых имеет различную сетку возможных положений полюсов.

Рис. 4.33. Связанная форма выполнения пары комплексно-сопряженных полюсов

Рис. 4.34. Сетка возможных положений полюсов цепи рис. 4.33 при трехразрядном квантовании коэффициентов

На практике выгодно выбрать структуру, для которой соответствующая сетка является наиболее частой в той области z-плоскости, где должны быть полюсы.

Представляют интерес рассмотренные в § 4.3 другие структуры из-за возможности обеспечения ими более ннзкой чувствительности к погрешностям коэффициентов при реализации заданной передаточной функции. В настоящее время мало что известно о систематических путях определения наплучшей реализации заданной передаточной функции. Альтернативой изменения структур цепи является совместное рассмотрение требований к структурной схеме и квантованию параметров на этапе разработки, когда решаются вопросы аппроксимаций. Этот подход в общем случае оказывается сложным, хотя является, безусловно, перспективным для исследования.