1.3. УСТОЙЧИВОСТЬ И ФИЗИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗУЕМОСТЬ

Мы видели, что требования линейности и инвариантности во времени определяют класс систем, которые представляются сверткой. Добавочные ограничения устойчивости и физической реализуемости определяют практически важный, но более узкий класс линейных инвариантных во времени систем.

Устойчивой системой назовем систему, в которой каждый ограниченный входной сигнал создает ограниченный выходной сигнал. Линейная инвариантная к сдвигу система устойчива тогда и только тогда, когда

Это можно показать следующим образом. Если (1.9) справедливо и ограничено, т. е. для всех то из (1.8) следует

Поэтому у ограничено. Доказать обратное можно, показав, что если то существует ограниченный входной сигнал, который создает неограниченный выходной сигнал. Таким входом является последовательность со значениями

— комплексно-сопряженная к величина. Ясно, что

ограничена. Значение на выходе при равно Поэтому при выходная последовательность не ограничена.

Физически реализуемая система — это система, у которой изменения на выходе не опережают изменения на входе, т. е. в физически реализуемой системе, если то Линейная инвариантная к сдвигу система физически реализуема тогда и только тогда, когда ее импульсная характеристика равна нулю при 0. Поэтому иногда удобно называть последовательность, которая равна нулю при физически реализуемой последовательностью, подразумевая под этим то, что она может быть импульсной характеристикой физически реализуемой системы.

Как пример устойчивости и физической реализуемости рассмотрим линейную инвариантную к сдвигу систему с импульсной характеристикой так как эта импульсная характеристика равна нулю при то система физически реализуема. Чтобы определить устойчивость, мы должны вычислить сумму Если бесконечная геометрическая прогрессия имеет сумму но если — ряд расходится. Следовательно, система устойчива только при