1.3. УСТОЙЧИВОСТЬ И ФИЗИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗУЕМОСТЬ
Мы видели, что требования линейности и инвариантности во времени определяют класс систем, которые представляются сверткой. Добавочные ограничения устойчивости и физической реализуемости определяют практически важный, но более узкий класс линейных инвариантных во времени систем.
Устойчивой системой назовем систему, в которой каждый ограниченный входной сигнал создает ограниченный выходной сигнал. Линейная инвариантная к сдвигу система устойчива тогда и только тогда, когда
Это можно показать следующим образом. Если (1.9) справедливо и
ограничено, т. е.
для всех
то из (1.8) следует
Поэтому у ограничено. Доказать обратное можно, показав, что если
то существует ограниченный входной сигнал, который создает неограниченный выходной сигнал. Таким входом является последовательность со значениями
— комплексно-сопряженная к
величина. Ясно, что