Глава 7. Дискретное преобразование Гильберта

ВВЕДЕНИЕ

Почти в каждой области, где применяется техника преобразований Фурье для представления и анализа физических процессов, можно найти ситуации, когда существует связь между действительной и мнимой частями преобразования Фурье или его модулем и фазой. Эти соотношения известны под разными названиями в зависимости от интересующей нас области, но часто они называются преобразованием Гильберта. В этом отношении область цифровой обработки сигналов не является исключением.

Мы увидим, например, что если последовательность является физически реализуемой, то действительная и мнимая части ее преобразования Фурье связаны между собой интегралом преобразования Гильберта. В этой главе выведем ряд таких соотношений, которые важны как в теории, так и в применениях цифровой

обработка сигналов. Чтобы получить представление о гомоморфном разложении (гл. 10), необходимо хорошее понимание материала этой главы.

Комплексные функции, которые возникают при математическом представлении дискретных сигналов и систем, являются обычно «очень хорошо ведущими себя» функциями. За несколькими исключениями, -преобразования, которые интересовали нас, имели хорошо определенные области сходимости соответствующих степенных рядов. Так как степенные ряды представляют аналитическую функцию в области сходимости [1, 2], то отсюда следует, что -преобразования являются аналитическими функциями внутри их областей сходимости. По определению аналитической функции это означает, что -преобразование имеет производную в каждой точке внутри области сходимости. Далее, из аналитичности следует, что -преобразование и все его производные являются непрерывными функциями в области сходимости.

Эти свойства аналитических функций заключают в себе довольно сильные ограничения на поведение -преобразования в области сходимости. Одно из таких ограничений состоит в том, что действительная и мнимая части удовлетворяют условиям Коши—Римана. Эти условия дают соотношения между частными производными действительной и мнимой частей аналитической функции. Другим таким ограничением является интегральная теорема Коши, с помощью которой определяются значения комплексной функции в области аналитичности через значения этой функции на границе области. На основе этих соотношений для аналитических функций возможно при определенных условиях вывести явное интегральное соотношение между действительной и мнимой частями -преобразования на замкнутом контуре в области сходимости. В математической литературе эти соотношения часто называются формулами Пуассона [2, 3]. В теории систем они известны как преобразования Гильберта и традиционно играют важную роль в теории и практике обработки сигналов [4, 5].

Несмотря на то что преобразование Гильберта может быть развито формально из свойств аналитических функций, в этой главе будет принят до некоторой степени интуитивный подход. А именно, преобразование Гильберта будет развито с точки зрения того, что действительная и мнимая части -преобразования (на единичной окружности) физически реализуемой последовательности являются преобразованиями четной и нечетной компонент этой последовательности. Как будет показано, физически реализуемая последовательность полностью определяется своей четной частью, откуда следует, что -преобразование исходной последовательности полностью определяется своей действительной частью на единичной окружности. Это рассуждение может быть применено при определенных условиях для определения -преобразования последовательности через его модуль на единичной окружности.

Понятие аналитического сигнала является важным при обработке сигналов с непрерывным временем [6]. Аналитический

сигнал является комплексной (аналитической) функцией времени, преобразование Фурье которой равно нулю на отрицательных частотах. Комплексную последовательность в формальном смысле нельзя рассматривать как аналитическую, так как она является функцией целого аргумента. Однако можно аналогичным образом определить действительную и мнимую части комплексной последовательности, спектр которой равен нулю на единичной окружности при Точно так же можно определить действительную и мнимую части дискретного преобразования Фурье для периодической последовательности и последовательности конечной длины. В этом случае условие «физической реализуемости» состоит в том, что периодическая последовательность равна нулю во второй половине каждого периода.

Таким образом, понятие физической реализуемости будет в дальнейшем применено для определения четной и нечетной компонент функции или, что то же, действительной и мнимой частей ее преобразований. Этот подход будет применен в четырех ситуациях. В первой определяются действительная и мнимая части преобразования Фурье последовательности которая равна нулю при 0. Во второй определяются действительная и мнимая части логарифма преобразования Фурье при условии, что обратное преобразование логарифма преобразования равно нулю при 0. Действительная и мнимая части логарифма спектра соответствуют логарифму модуля и фазе В третьей ситуации будут определены действительная и мнимая части ДПФ для периодических последовательностей и для последовательностей конечной длины которых последние членов равны нулю. Наконец, определим действительную и мнимую части комплексной последовательности, преобразование Фурье которой, рассматриваемое как периодическая функция от со, равно нулю во второй половине каждого периода.