1.8. ДВУМЕРНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И СИСТЕМЫ

В предыдущих параграфах было рассмотрено представление одномерных сигналов и систем. В этом параграфе обобщим некоторые из полученных результатов на двумерные сигналы и системы. Много важных задач сводится к обработке многомерных сигналов. Все свойства сигналов и систем, которые мы вывели до сих пор в этой главе, легко распространяются на многомерный случай. Однако результаты последующих глав в общем случае не распространяются на многомерные сигналы и системы.

Рис. 1.14. Графическое представление двумерной последовательности

Двумерная последовательность — это функция двух целочисленных переменных, которая часто изображается так, как показано на рис. 1.14. Как и в одномерном случае, полезно определить единичный импульс, единичную ступенчатую, экспоненциальную и синусоидальную последовательности. Двумерный единичный импульс определяется как

последовательность, равная нулю всюду, за исключением начала координат, т. е.

Двумерная единичная ступенчатая последовательность определяется как последовательность, равная единице в первом квадранте плоскости и равная нулю в других точках, т. е.

Двумерная экспоненциальная последовательность имеет вид Двумерная синусоидальная последовательность представляется в виде Разделимой последовательностью называется последовательность, которую можно представить как произведение одномерных последовательностей, т. е. разделима, если она имеет вид

Единичный импульс-, единичная ступенчатая, экспоненциальная и синусоидальная последовательности разделимы. Примером неразделимой последовательности является последовательность

Как и в одномерном случае, произвольная двумерная последовательность может быть представлена в виде линейной комбинации сдвинутых единичных импульсов На основе этого выражения двумерная линейная система может быть описана с помощью откликов на сдвинутые единичные импульсы. А именно, при где Т обозначает преобразование, производимое линейной системой,

Обозначая через отклик системы на получим

Если на систему наложено только одно условие линейности, то будет зависеть от четырех переменных

Однако полезно ввести дополнительное ограничение — инвариантность к сдвигу. Класс двумерных инвариантных к сдвигу систем характеризуется следующим свойством: если есть отклик на то - отклик на

При этом условии, если есть отклик на то - отклик на и (1.35) перепишется так:

Выражение (1.36) есть свертка для двумерной инвариантной к сдвигу линейной системы. Заменяя переменные в (1.36), получим

Таким образом, как и в одномерном случае, операция свертки двух последовательностей коммутативна, т. е. порядок, в котором они свертываются, не важен. Из этого, в частности, следует, что импульсная характеристика каскадно соединенных линейных инвариантных к сдвигу систем не зависит от порядка их соединения.

Устойчивая система — это такая система, у которой любой ограниченный вход создает ограниченный выход. Используя аргументы § 1.3, можно показать, что двумерная инвариантная к сдвигу линейная система устойчива тогда и только тогда, когда

Двумерная система называется физически реализуемой, если из условия, что два входа равны при следует, что соответствующие выходы равны при Для линейной инвариантной к сдвигу системы физическая реализуемость означает, что импульсная характеристика равна нулю при Если импульсная характеристика равна нулю при , то система физически реализуема.

Важным подклассом двумерных инвариантных к сдвигу линейных систем является класс систем, вход и выход которых удовлетворяет линейному разностному уравнению с постоянными коэффициентами вида

где наложено дополнительное условие: если для всех то для всех тип. Как и в случае с одномерными разностными уравнениями, двумерное разностное уравнение (1.39) может соответствовать как физически реализуемой, так и нереализуемой системе. Если предположим, что система физически реализуема, то (1.39) можно записать в виде рекуррентного соотношения

Например, если равно нулю при то вследствие физической реализуемости равно нулю при Это дает начальные условия для уравнения (1.40).

Для двумерных инвариантных к сдвигу линейных систем отклик на комплексную экспоненту вида является комплексной экспонентой тех же частот. А именно, при из выражения для свертки имеем

Функция является частотной характеристикой двумерной системы. Это — непрерывная функция от и, и и периодическая функция по этим переменным с периодом Можно показать, что если разделима, то и разделима, т. е. может быть выражена в виде Последовательность может быть выражена через частотную характеристику:

В общем случае мы определим двумерное преобразование Фурье последовательности соотношением

с обратным соотношением

Применяя преобразование (1.43) к свертке, получим связь между преобразованиями Фурье входа и выхода двумерной линейной инвариантной к сдвигу системы