1.8. ДВУМЕРНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И СИСТЕМЫ
В предыдущих параграфах было рассмотрено представление одномерных сигналов и систем. В этом параграфе обобщим некоторые из полученных результатов на двумерные сигналы и системы. Много важных задач сводится к обработке многомерных сигналов. Все свойства сигналов и систем, которые мы вывели до сих пор в этой главе, легко распространяются на многомерный случай. Однако результаты последующих глав в общем случае не распространяются на многомерные сигналы и системы.
Рис. 1.14. Графическое представление двумерной последовательности
Двумерная последовательность — это функция двух целочисленных переменных, которая часто изображается так, как показано на рис. 1.14. Как и в одномерном случае, полезно определить единичный импульс, единичную ступенчатую, экспоненциальную и синусоидальную последовательности. Двумерный единичный импульс
определяется как
последовательность, равная нулю всюду, за исключением начала координат, т. е.
Двумерная единичная ступенчатая последовательность
определяется как последовательность, равная единице в первом квадранте
плоскости и равная нулю в других точках, т. е.
Двумерная экспоненциальная последовательность имеет вид
Двумерная синусоидальная последовательность представляется в виде
Разделимой последовательностью называется последовательность, которую можно представить как произведение одномерных последовательностей, т. е.
разделима, если она имеет вид
Единичный импульс-, единичная ступенчатая, экспоненциальная и синусоидальная последовательности разделимы. Примером неразделимой последовательности является последовательность
Как и в одномерном случае, произвольная двумерная последовательность может быть представлена в виде линейной комбинации сдвинутых единичных импульсов
На основе этого выражения двумерная линейная система может быть описана с помощью откликов на сдвинутые единичные импульсы. А именно, при
где Т обозначает преобразование, производимое линейной системой,
Обозначая через
отклик системы на
получим
Если на систему наложено только одно условие линейности, то
будет зависеть от четырех переменных
Однако полезно ввести дополнительное ограничение — инвариантность к сдвигу. Класс двумерных инвариантных к сдвигу систем характеризуется следующим свойством: если
есть отклик на
то
- отклик на
При этом условии, если
есть отклик на
то
- отклик на
и (1.35) перепишется так:
Выражение (1.36) есть свертка для двумерной инвариантной к сдвигу линейной системы. Заменяя переменные в (1.36), получим
Таким образом, как и в одномерном случае, операция свертки двух последовательностей коммутативна, т. е. порядок, в котором они свертываются, не важен. Из этого, в частности, следует, что импульсная характеристика каскадно соединенных линейных инвариантных к сдвигу систем не зависит от порядка их соединения.
Устойчивая система — это такая система, у которой любой ограниченный вход создает ограниченный выход. Используя аргументы § 1.3, можно показать, что двумерная инвариантная к сдвигу линейная система устойчива тогда и только тогда, когда
Двумерная система называется физически реализуемой, если из условия, что два входа
равны при
следует, что соответствующие выходы
равны при
Для линейной инвариантной к сдвигу системы физическая реализуемость означает, что импульсная характеристика равна нулю при
Если импульсная характеристика равна нулю при
, то система физически реализуема.
Важным подклассом двумерных инвариантных к сдвигу линейных систем является класс систем, вход и выход которых удовлетворяет линейному разностному уравнению с постоянными коэффициентами вида
где наложено дополнительное условие: если
для всех
то
для всех тип. Как и в случае с одномерными разностными уравнениями, двумерное разностное уравнение (1.39) может соответствовать как физически реализуемой, так и нереализуемой системе. Если предположим, что система физически реализуема, то (1.39) можно записать в виде рекуррентного соотношения