7.1. О ДОСТАТОЧНОСТИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ И МНИМОЙ ЧАСТЕЙ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ДЛЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИ РЕАЛИЗУЕМЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

Любая последовательность может быть представлена как сумма четной и нечетной последовательностей. А именно, обозначая через четную и нечетную части последовательности, имеем

Соотношения (7.1) — (7.3) применимы к любой последовательности. Однако если физически реализуема, то можно

восстановить по или последнем случае только при Рассмотрим, например, последовательность представленную на рис. 7.1, и ее четную и нечетную компоненты.

Рис. 7.1. Четная и нечетная части действительной физически реализуемой последовательности

Так как физически реализуема, т. е. при при то между ненулевыми частями нет перекрытия, за исключением точки

Из рис. 7.1 и выражений (7.2) и (7.3) должно быть ясно, что для физически реализуемых последовательностей

Если определить

то

Отметим, что полностью восстанавливается по С другой стороны, всегда равно нулю при , следовательно, может быть восстановлена по только при

Важным следствием выражений (7.7) и (7.8) является то, что преобразование Фурье действительной, физически реализуемой и устойчивой последовательности полностью известно, если мы знаем действительную или мнимую часть так как является преобразованием Фурье от — преобразованием Фурье от Например, мы можем сначала вычислить по затем в соответствии с (7.7) вычислить откуда потом определить

Можно показать, что если — действительная, физически реализуемая, устойчивая последовательность, то можно определить всюду вне единичного круга (т. е. в области сходимости зная только или Рассмотрим вне единичного круга, т. е. для при . В этом случае или, используя (7.7).

С другой стороны, это выражение можно трактовать как преобразование Фурье произведения Следовательно, можно получить как свертку преобразования Фурье от с преобразованием Фурье последовательности Преобразование Фурье от равно и если то преобразование Фурье от равно Отметим, что, строго говоря, преобразование Фурье от не существует при Теперь, используя теорему о комплексной свертке (§ 2.3.9), получим

В (7.9 a) и (7.9 б) контур С должен быть единичной окружностью, если предполагается, что известно только Эти соотношения особенно удобны тогда, когда можно представить рациональной функцией от так как тогда интеграл можно легко вычислить с помощью вычетов.

Пример. Предположим, что нам дано Найдем из (7.9). Сначала запишем как рациональную функцию от

Тогда, подставляя это выражение в (7.96), получим

где С — единичная окружность. Переписывая это соотношение так, чтобы показать полюсы подынтегрального выражения, получим

Полюсы подынтегрального выражения изображены на рис. 7.2, откуда видно, что только полюсы при лежат внутри единичной окружности. Следовательно, используя теорему о вычетах, получим

Рис. 7.2. Расположение полюсов в примере вычисления -преобразования с использованием контурного интегрирования

Рис. 7.3. Интерпретация преобразования Гильберта как периодической свертки

Полученное выражение было выведено в предположении, что однако мы замечаем, что область аналитичности определяется соотношением Таким образом, мы получили -преобразование непосредственно по его действительной части на единичной окружности.

Соотношения (7.9а) и (7.9б) дают выражения для определения вне единичного круга по его действительной части на единичной окружности. Однако полезно также записать это выражение в виде обыкновенного интеграла. Пусть в (7.9а) Тогда

Функции часто называются ядром Пуассона и сопряженным ядром Пуассона соответственно [2, 3]. Выделяя действительную и мнимую части в (7.10), получим

Таким образом, мы вывели соотношения для действительной и мнимой частей z-преобразования вне единичного круга через действительную часть этого преобразования на единичной окружности. С помощью аналогичных преобразований, начиная с (7.8), получим следующие представления в виде контурных интегралов:

где контуром С снова является единичная окружность. Преобразуя (7.14а) в обыкновенные интегралы и выделяя действительную и мнимую части, получим

где определяются (7.11а) и (7.11б).

Чтобы получить непосредственную связь между действительной и мнимой частями на единичной окружности, необходимо перейти к пределу при стремящемся к единице в (7.13) и (7.15). Это возможно только в том случае, когда сначала выполнено интегрирование. Однако, если попытаться получить соотношение для через изменив порядок интегрирования и перехода к пределу, столкнемся с несобственным интегралом, так как а функция имеет сингулярность в точке Желаемое соотношение можно получить, если позаботиться о вычислении несобственного

интеграл а в окружности сингулярных точек подынтегральной функции. Формально это можно сделать, интерпретируя интегралы как главные значения в смысле Коши [10]. Тогда (7.13) становится равным

а (7.15) принимает вид

где символ Р обозначает главное значение в смысле Коши. Величина главного значення в смысле Коши, например, для (7.17) дается соотношением (7.19)

Мы видим, что получается из периодической сверткой с причем особое внимание уделяется вычислению в окрестности сингулярности при Аналогично (7.18) включает периодическую свертку .

Две функции, входящие в интеграл свертки (7.17) [или, что то же, (7.19)], изображены на рис. 7.3. Существование предела в (7.19) объясняется антисимметричностью функции относительно точки и тем, что разрыв симметрично расположен относительно сингулярности.

Вычисление интегралов в предыдущих выражениях еще более усложняется, если имеет полюсы на единичной окружности. Мы предполагали, что единичная окружность целиком входит в область сходимости , следовательно, не имеет полюсов на единичной окружности. К полюсам на единичной окружности можно приспособиться, вводя импульсы в преобразование Фурье или применяя контур «с зазубринами» при контурном интегрировании. Однако математическое обоснование этих процедур уведет нас далеко в сторону, и поэтому мы не будем больше обсуждать этот вопрос.