Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 7.1. О ДОСТАТОЧНОСТИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ И МНИМОЙ ЧАСТЕЙ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ДЛЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИ РЕАЛИЗУЕМЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙЛюбая последовательность может быть представлена как сумма четной и нечетной последовательностей. А именно, обозначая через
Соотношения (7.1) — (7.3) применимы к любой последовательности. Однако если восстановить
Рис. 7.1. Четная и нечетная части действительной физически реализуемой последовательности Так как Из рис. 7.1 и выражений (7.2) и (7.3) должно быть ясно, что для физически реализуемых последовательностей
Если определить
то
Отметим, что Важным следствием выражений (7.7) и (7.8) является то, что преобразование Фурье действительной, физически реализуемой и устойчивой последовательности Можно показать, что если
С другой стороны, это выражение можно трактовать как преобразование Фурье произведения
В (7.9 a) и (7.9 б) контур С должен быть единичной окружностью, если предполагается, что известно только Пример. Предположим, что нам дано
Тогда, подставляя это выражение в (7.96), получим
где С — единичная окружность. Переписывая это соотношение так, чтобы показать полюсы подынтегрального выражения, получим
Полюсы подынтегрального выражения изображены на рис. 7.2, откуда видно, что только полюсы при
Рис. 7.2. Расположение полюсов в примере вычисления
Рис. 7.3. Интерпретация преобразования Гильберта как периодической свертки Полученное выражение было выведено в предположении, что Соотношения (7.9а) и (7.9б) дают выражения для определения
Функции
Таким образом, мы вывели соотношения для действительной и мнимой частей z-преобразования вне единичного круга через действительную часть этого преобразования на единичной окружности. С помощью аналогичных преобразований, начиная с (7.8), получим следующие представления в виде контурных интегралов:
где контуром С снова является единичная окружность. Преобразуя (7.14а) в обыкновенные интегралы и выделяя действительную и мнимую части, получим
где Чтобы получить непосредственную связь между действительной и мнимой частями на единичной окружности, необходимо перейти к пределу при интеграл а в окружности сингулярных точек подынтегральной функции. Формально это можно сделать, интерпретируя интегралы как главные значения в смысле Коши [10]. Тогда (7.13) становится равным
а (7.15) принимает вид
где символ Р обозначает главное значение в смысле Коши. Величина главного значення в смысле Коши, например, для (7.17) дается соотношением (7.19)
Мы видим, что Две функции, входящие в интеграл свертки (7.17) [или, что то же, (7.19)], изображены на рис. 7.3. Существование предела в (7.19) объясняется антисимметричностью функции Вычисление интегралов в предыдущих выражениях еще более усложняется, если
|
1 |
Оглавление
|