9.1. ВЛИЯНИЕ СПОСОБОВ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЧИСЕЛ НА КВАНТОВАНИЕ

9.1.1. ДВОИЧНЫЕ ЧИСЛА С ФИКСИРОВАННОЙ И ПЛАВАЮЩЕЙ ЗАПЯТЫМИ

В универсальных ЦВМ и специализированных устройствах для представления чисел, как правило, используется система счисления с основанием 2, т. е. двоичная система [1]. Поэтому число представляется последовательностью двоичных разрядов (нулей или единиц). Точно так же, как десятичное число представляется строкой десятичных цифр с запятой, отделяющей целую часть от дробной, последовательность двоичных цифр разделяется запятой на те цифры, которые представляют целую часть числа, и те, которые представляют ее дробную часть. Поэтому, если обозначает положение запятой в двоичном числе, то двоичное число в десятичной системе счисления равно или 9,375.

Способ построения арифметического устройства универсальной ЦВМ или специализированного устройства определяется принятой системой счисления. В системе счисления с фиксированной запятой построение арифметики базируется на предположении, что положение двоичной запятой фиксировано. В арифметическом устройстве с фиксированной запятой способ выполнения суммирования не зависит от положения двоичной запятой, если она во всех регистрах расположена одинаково.

При умножении, как правило, наиболее удобно предположить, что все числа являются либо целыми, либо дробными, поскольку произведение целых чисел есть число целое, а произведение дробных — дробное. В приложениях цифровой фильтрации обычно необходимо аппроксимировать -разрядное произведение двух -разрядных чисел числом с разрядами. В арифметике целых чисел это сделать трудно. В арифметике дробных чисел, с другой стороны, это может быть выполнено путем усечения или округления до наиболее значащих разрядов. При умножении дробных чисел переполнение может никогда не произойти, так как

произведение двух дробных чисел является числом дробным. Например, если умножаются два дробных -разрядных числа то -разрядное произведение может аппроксимироваться как (усечение) или (округление).

Если суммируются два дробных числа с фиксированной запятой, то может произойти переполнение. Например, сумма двух дробных -разрядных чисел равна Это значит, что такая сумма не может быть записана в -разрядном регистре. Это ограничение на диапазон чисел, которые должны быть представлены, можно, по существу, исключить при использовании системы счисления с плавающей запятой. В системе счисления с плавающей запятой положительное число представляется в виде произведения двух чисел, т. е. где М — мантисса, представляющая собой дробное число, находящееся в интервале и с — порядок, который может быть либо положительным, либо отрицательным. Когда мантисса М приведена к указанному интервалу, то говорят, что число нормировано. Произведение двух чисел с плавающей запятой получается в результате перемножения мантисс как дробных чисел с фиксированной запятой и сложения порядков. Поскольку произведение мантисс будет в интервале между 1/4 и 1, то могут потребоваться нормировка мантиссы и соответствующая корректировка порядка. Это значит, что если то М сдвигается влево на один разряд, а порядок уменьшается на единицу.

Сложение двух чисел с плавающей запятой производится путем сдвига разрядов мантиссы меньшего числа вправо, пока порядки чисел не станут равными, и последующего суммирования мантисс, как показано на следующем примере.

Пример. Рассмотрим сумму чисел и где Тогда в системе счисления с плавающей запятой при в десятичной системе), в десятичной системе), в десятичной системе) и (5/8 в десятичной системе). Для выполнения сложения порядок должен быть изменен так, чтобы быть равным порядку и соответственно должна быть скорректирована мантисса Поэтому первоначальное представление изменяется на где при котором мантиссы теперь могут быть просуммированы. Результирующая сумма представляется числом где этом случае сумма и равна дробному числу, находящемуся в интервале между 1/2 и 1, так что дополнительной корректировки с не требуется. В более общем случае результат суммирования маитисс может оказаться вне установленного интервала и, следовательно, потребуется корректировка с, чтобы привести мантиссу к заданному интервалу.

Из этого примера должно быть ясно, что при плавающей запятой мантисса может превосходить число разрядов регистра как при сложении, так и при умножении и должна поэтому быть

усечена или округлена, тогда как при фиксированной запятой это оказывается необходимым только при умножении. С другой стороны, если используется арифметическое устройство с фиксированной запятой и результат суммирования превзойдет число разрядов регистра, то усечение или округление не поможет, поскольку был превышен динамический диапазон. Таким образом, при представлении чисел с плавающей запятой могут возникать ошибки округления как при сложении, так и при умножении, однако при этом способе обеспечивается гораздо больший динамический диапазон, чем при фиксированной запятой. Оба эти эффекта должны учитываться при сравнении реализаций цифровых фильтров с фиксированной и плавающей запятыми.