Глава 3. Дискретное преобразование Фурье

ВВЕДЕНИЕ

В гл. 1 и 2 рассмотрено представление последовательностей и линейных инвариантных к сдвигу систем на основе преобразования Фурье и -преобразования. Для частного случая, когда представляемая последовательность имеет конечную длительность, т. е. имеет только конечное число ненулевых значений можно разработать другой вид преобразования Фурье, называемый дискретным преобразованием Фурье (ДПФ). Как мы увидим в этой главе, ДПФ есть преобразование Фурье последовательности конечной длины, являющееся само по себе также

последовательностью, а не непрерывной функцией, и соответствует равноудаленным по частоте выборкам преобразования Фуръе сигнала. Кроме своей теоретической важности, ДПФ играет центральную роль при разработке ряда алгоритмов обработки сигналов вследствие существования эффективного алгоритма вычисления ДПФ [1, 2]. Этот алгоритм будет детально рассмотрен в гл. 6.

Имеются различные подходы к выводу и интерпретации представления последовательностей конечной длительности с помощью ДПФ. Мы выбрали представление, основанное на соотношении между последовательностями конечной длины и периодическими последовательностями, и поэтому мы рассмотрим сначала ряды Фурье периодических последовательностей. Представление по Фурье периодических последовательностей важно само по себе, и мы используем его также для представления последовательностей конечной длины. Это делается путем конструирования периодической последовательности, каждый период которой совпадает с последовательностью конечной длины. Как мы увидим далее, ряд Фурье этой периодической последовательности соответствует ДПФ последовательности конечной длины.