Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 8.2. СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯЗачастую оказывается полезным характеризовать случайную величину ее средним значением и дисперсией. Поскольку рассматриваемый случайный процесс является индексированным множеством случайных величин, его описание возможно с помощью статистических средних случайных величин, образующих этот случайный процесс. Такие средние величины называются средними по ансамблю. 8.2.1. ОПРЕДЕЛЕНИЯСреднее или среднее значение процесса определяется как
где Е обозначает математическое ожидание. Заметим, что в общем случае среднее значение (ожидаемая величина) может зависеть от
Если такие случайные величины являются квантованными, то интегрирование заменяется суммированием по всем возможным значениям такой случайной величины
В тех случаях, когда нас интересует взаимная зависимость между двумя (или более) сигналами с бесконечной энергией (т. е. двумя случайными процессами), необходимо иметь дело с двумя множествами случайных величин
где Существует ряд простых свойств средних значений, которые окажутся полезными при последующем рассмотрении. В частности, может быть легко показано, что:
В общем случае среднее значение произведения двух случайных величин не равно произведению их средних. Если же это равенство выполняется, то говорят, что такие две случайные величины являются некоррелированными. Так, если
Из (8.13) нетрудно видеть, что достаточным условием для некоррелированности является
Соотношение (8.15) является более жесткой формулировкой независимости, чем (8.14). Как было сформулировано ранее, случайные величины, удовлетворяющие (8.15) , называются статистически независимыми. Если соотношение (8.15) выполняется для всех значений Из (8.11) — (8.13) можно заметить, что средние значения в общем случае являются функциями времени. Однако для случая стационарных процессов это не верно. Так, в этом случае среднее значение оказывается одним и тем же для всех случайных величин, которые составляют такой процесс, т. е. среднее значение стационарного процесса является постоянной величиной, которую можно обозначить просто В дополнение к среднему значению случайного процесса, как это определено в (8.10), существует ряд средних величин, которые являются особенно важными применительно к понятиям цифровой обработки сигналов. Они определяются ниже. [Для удобства обозначений будем полагать, что распределения вероятности являются непрерывными. Соответствующие определения для квантованных случайных процессов могут быть получены из (8.12).] Средний квадрат случайной величины
Среднее значение квадрата случайной величины иногда называют средней мощностью. Дисперсия
Поскольку среднее значение суммы равно сумме средних, то легко показать, что (8.17) может быть записано как
В общем случае средний квадрат и дисперсия являются функциями времени; однако они оказываются постоянными величинами для стационарных процессов. Среднее значение, средний квадрат и дисперсия являются простыми средними величинами, которые дают лишь небольшое количество информации о процессе. Более полезной средней величиной является автокорреляционная последовательность, которая определяется как
где обозначает комплексное сопряжение. Автоковариационная последовательность определяется как
которая может быть записана в виде
Заметим, что в общем случае как автокорреляционная, так и автоковариационная последовательности являются двумерными последовательностями. Автокорреляция является мерой зависимости между значениями случайного процесса в различные моменты времени. В этом смысле она описывает изменения случайного сигнала во времени. Мера зависимости между двумя различными случайными сигналами получается из взаимокорреляционной последовательности. Если
где
Как отмечалось, статистические свойства случайного процесса в общем случае изменяются со временем. Однако стационарный процесс характеризуется некоторым условием равновесия, заключающимся в том, что его статистические свойства оказываются йнвариантными к сдвигу начала отсчета времени. Это означает, что одномерное распределение вероятности не зависит от времени. Аналогично все функции совместных вероятностей также являются инвариантными к временному сдвигу начала отсчета, т. е. двумерные совместные распределения вероятности удовлетворяют соотношению (8.9). Из (8.9) следует, что двумерное совместное распределение зависит только от разности моментов времени
независимо от
Это значит, что автокорреляционная последовательность стационарного случайного процесса является лишь функцией разности моментов времени т. Часто мы встречаемся со случайными процессами, которые не являются стационарными в строгом смысле, т. е. их распределения вероятности не обладают временной инвариантностью; тем не менее для них среднее значение является постоянной величиной и автокорреляционная последовательность удовлетворяет соотношению (8.26). Подобные случайные процессы называют стационарными в широком смысле [5]. Пример. В качестве примера описания случайного процесса с помощью средних величин рассмотрим простой процесс Бернулли. Прежде всего отметим, что такой процесс является стационарным, поскольку предполагается, что вероятности 1. Поэтому дисперсия равна Поскольку мы предполагали статистическую иезавнсимость, то автокорреляционная последовательность представляет собой
В частном случае, если
|
1 |
Оглавление
|