8.2. СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ

Зачастую оказывается полезным характеризовать случайную величину ее средним значением и дисперсией. Поскольку рассматриваемый случайный процесс является индексированным множеством случайных величин, его описание возможно с помощью статистических средних случайных величин, образующих этот случайный процесс. Такие средние величины называются средними по ансамблю.

8.2.1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Среднее или среднее значение процесса определяется как

где Е обозначает математическое ожидание. Заметим, что в общем случае среднее значение (ожидаемая величина) может зависеть от . В общем случае, если является однозначной функцией, то является также случайной величиной и множество случайных величин определяет новый случайный процесс. Чтобы вычислить средние значения нового случайного процесса, необходимо получить распределения вероятности новых случайных величин. Можно показать, что

Если такие случайные величины являются квантованными, то интегрирование заменяется суммированием по всем возможным значениям такой случайной величины

В тех случаях, когда нас интересует взаимная зависимость между двумя (или более) сигналами с бесконечной энергией (т. е. двумя случайными процессами), необходимо иметь дело с двумя множествами случайных величин Например, математическое ожидание функции двух случайных величин определяется как

где является совместной плотностью вероятности случайных величин

Существует ряд простых свойств средних значений, которые окажутся полезными при последующем рассмотрении. В частности, может быть легко показано, что: т. е. среднее значение суммы равно сумме средних значений;

т. е. среднее значение случайной величины умноженной на постоянную, равно произведению этой постоянной на среднее значение

В общем случае среднее значение произведения двух случайных величин не равно произведению их средних.

Если же это равенство выполняется, то говорят, что такие две случайные величины являются некоррелированными. Так, если некоррелированны, то

Из (8.13) нетрудно видеть, что достаточным условием для некоррелированности является

Соотношение (8.15) является более жесткой формулировкой независимости, чем (8.14). Как было сформулировано ранее, случайные величины, удовлетворяющие (8.15) , называются статистически независимыми. Если соотношение (8.15) выполняется для всех значений то говорят, что случайные процессы являются статистически независимыми. Статистически независимые случайные процессы являются также некоррелированными, однако из некоррелированности не следует статистическая независимость.

Из (8.11) — (8.13) можно заметить, что средние значения в общем случае являются функциями времени. Однако для случая стационарных процессов это не верно. Так, в этом случае среднее значение оказывается одним и тем же для всех случайных величин, которые составляют такой процесс, т. е. среднее значение стационарного процесса является постоянной величиной, которую можно обозначить просто

В дополнение к среднему значению случайного процесса, как это определено в (8.10), существует ряд средних величин, которые являются особенно важными применительно к понятиям цифровой обработки сигналов. Они определяются ниже. [Для удобства обозначений будем полагать, что распределения вероятности являются непрерывными. Соответствующие определения для квантованных случайных процессов могут быть получены из (8.12).]

Средний квадрат случайной величины определяется выражением

Среднее значение квадрата случайной величины иногда называют средней мощностью.

Дисперсия является средним квадратом т. е.

Поскольку среднее значение суммы равно сумме средних, то легко показать, что (8.17) может быть записано как

В общем случае средний квадрат и дисперсия являются функциями времени; однако они оказываются постоянными величинами для стационарных процессов.

Среднее значение, средний квадрат и дисперсия являются простыми средними величинами, которые дают лишь небольшое количество информации о процессе. Более полезной средней величиной является автокорреляционная последовательность, которая определяется как

где обозначает комплексное сопряжение. Автоковариационная последовательность определяется как

которая может быть записана в виде

Заметим, что в общем случае как автокорреляционная, так и автоковариационная последовательности являются двумерными последовательностями.

Автокорреляция является мерой зависимости между значениями случайного процесса в различные моменты времени. В этом смысле она описывает изменения случайного сигнала во времени. Мера зависимости между двумя различными случайными сигналами получается из взаимокорреляционной последовательности. Если являются двумя случайными процессами, то их взаимная корреляция

где является совместной плотностью вероятностей и . Функция взаимной ковариации определяется как

Как отмечалось, статистические свойства случайного процесса в общем случае изменяются со временем. Однако стационарный процесс характеризуется некоторым условием равновесия, заключающимся в том, что его статистические свойства оказываются йнвариантными к сдвигу начала отсчета времени. Это означает,

что одномерное распределение вероятности не зависит от времени. Аналогично все функции совместных вероятностей также являются инвариантными к временному сдвигу начала отсчета, т. е. двумерные совместные распределения вероятности удовлетворяют соотношению (8.9). Из (8.9) следует, что двумерное совместное распределение зависит только от разности моментов времени Такие средние величины, как среднее значение и дисперсия, не зависят от времени; автокорреляция оказывается зависящей от разности моментов времени Таким образом, для стационарного процесса можно записать:

независимо от и если теперь обозначить разность моментов времени через то

Это значит, что автокорреляционная последовательность стационарного случайного процесса является лишь функцией разности моментов времени т.

Часто мы встречаемся со случайными процессами, которые не являются стационарными в строгом смысле, т. е. их распределения вероятности не обладают временной инвариантностью; тем не менее для них среднее значение является постоянной величиной и автокорреляционная последовательность удовлетворяет соотношению (8.26). Подобные случайные процессы называют стационарными в широком смысле [5].

Пример. В качестве примера описания случайного процесса с помощью средних величин рассмотрим простой процесс Бернулли. Прежде всего отметим, что такой процесс является стационарным, поскольку предполагается, что вероятности были не зависимыми от времени и случайные величины полагались статистически независимыми. С учетом (8.12) среднее значение равно и средний квадрат есть

1. Поэтому дисперсия равна

Поскольку мы предполагали статистическую иезавнсимость, то автокорреляционная последовательность представляет собой

В частном случае, если то . В общем случае подобная автокорреляционная последовательность получается всякий раз, когда все случайные величины случайного процесса являются некоррелированными. Такие процессы (называемые белым шумом) играют важную роль во многих задачах обработки сигналов.