Глава 9. Эффекты конечной разрядности регистров при цифровой обработке сигналов
ВВЕДЕНИЕ
Алгоритмы цифровой обработки сигналов, такие, как линейная фильтрация и дискретное преобразование Фурье, реализуются либо на основе специализированных устройств, либо программным путем на универсальных ЦВМ. В обоих случаях переменные и коэффициенты последовательностей запоминаются в двоичной форме в регистрах, имеющих конечное число разрядов. Эта конечная разрядность проявляет себя по-разному.
Параметры цифрового фильтра, рассчитанного одним из методов гл. 5, получаются, как правило, с высокой точностью. При квантовании этих параметров частотная характеристика результирующего цифрового фильтра может значительно отличаться от расчетной. В действительности может оказаться, что фильтр с квантованными параметрами не будет удовлетворять требованиям, которым удовлетворял фильтр без квантования. В гл. 4 было показано, что характеристики фильтра довольно чувствительны к точности представления его параметров и зависят от структуры фильтра. Важными областями исследования остаются взаимосвязанные проблемы выбора структуры фильтра и прямого синтеза фильтров с квантованными коэффициентами.
Когда некоторая последовательность, подлежащая обработке, получается путем дискретизации ограниченного по полосе частот аналогового сигнала, то в соответствии с требованием конечной разрядности представления чисел необходимо, чтобы в процессе аналого-цифрового преобразования формировалось только конечное число возможных значений для каждой выборки. Это значит,
что выборки входного сигнала должны квантоваться в соответствии с конечным числом разрядов регистра. Здесь будет показано, что этот эффект часто можно проанализировать с помощью источника аддитивного шума.
Эффекты квантования проявляются и тогда, когда в результате обработки данных для их представления возникает необходимость в дополнительных разрядах (хотя для исходных данных этого не требовалось). Например, при умножении выборки данных на коэффициент, содержащих каждый по 
разрядов, для представления получающегося произведения необходимо иметь 
разрядов. Если при рекурсивной реализации цифрового фильтра не производить квантования результатов арифметических операций, то число разрядов будет бесконечно расти, так как после первой итерации потребуется 
разрядов, после второй — 
разрядов и т. д. Подобным образом в алгоритме БПФ, если коэффициенты являются 6-разрядными числами, для точного представления результата каждого шага вычисления БПФ потребуется на 
разрядов больше, чем на предыдущем шаге. Эффект квантования в этих примерах зависит от следующих факторов: используется ли арифметическое устройство с фиксированной или с плавающей запятой; представляют ли числа с фиксированной запятой дробные или целые числа и выполняется ли квантование путем округления или усечения. В этой главе будут отдельно проанализированы арифметические устройства с фиксированной и с плавающей запятыми. Для устройства с фиксированной запятой вполне естественно применительно к обработке сигналов рассматривать регистр для представления дробного числа с фиксированной запятой. При этом произведение двух чисел остается дробным и длина регистра может остаться ограниченной путем усечения или округления младших разрядов. При таком типе представления чисел результат суммирования дробей с фиксированной запятой не нуждается ни в округлении, ни в усечении. Однако величина результирующей суммы может превысить единицу. Этот эффект обычно рассматривается как переполнение. Чтобы исключить возможность переполнения, достаточно обеспечить малый уровень входного сигнала. В случае арифметического устройства с плавающей запятой такие ограничения динамического диапазона, как правило, могут не приниматься во внимание благодаря большому диапазону представляемых чисел, однако квантование вводится как для умножения, так и для сложения.
При последующем обсуждении сначала будет дан обзор методов представления двоичных чисел с фиксированной и плавающей запятыми, а также рассмотрено представление отрицательных чисел в обратном, дополнительном и прямом кодах. Затем будет рассмотрено соотношение между двоичным представлением чисел и операциями усечения и округления. Усечение или округление результата арифметической операции представляет собой эффект введения нелинейности в фильтр. Для простых фильтров и входных сигналов этот эффект можно проанализировать, рассмотрев
так называемый режим предельного цикла. Для сложных входных сигналов и фильтров осуществить такой анализ очень трудно. В этом случае оказывается полезным провести соответствующий анализ на основе представления эффекта усечения или округления с помощью сигнала аддитивного шума, который будет приписываться шуму округления. При этом фильтр считается линейным, а составляющая шума в выходном сигнале является результатом применения операции округления или усечения. Свойства среднего значения этого шума могут быть проанализированы на основе методов гл. 8. Анализ шумов этого типа будет рассмотрен для цифровых фильтров с фиксированной и плавающей запятыми, а также для быстрого преобразования Фурье.
