5.3.3. РАСЧЕТ ОБРАТНОГО ФИЛЬТРА МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

В двух рассмотренных ранее процедурах фильтр задавался в частотной области и результирующая система уравнений была нелинейной по отношению к параметрам фильтра. Другая процедура, основанная на аппроксимации методом наименьших квадратов для обратной характеристики требуемого фильтра, приводит к системе линейных уравнений. В этой процедуре фильтр задается с помощью первых выборочных значений требуемой импульсной характеристики: При обсуждении будет предполагаться, что передаточная функция фильтра имеет вид

Обобщения этой процедуры, допускающие как нули, так и полюсы, рассмотрены Шэнксом (Shanks) [19], Баррасом (Burrus) и Парксом (Parks) [18]. В этом упрощенном случае расчет фильтра базируется на том критерии, что выход в случае передаточной функции, обратной должен аппроксимировать единичный скачок, когда входом является . Если обозначает выходной сигнал обратной системы с передаточной функцией то

Таким образом, можно записать рекуррентную формулу

Напомним, что согласно принятому критерию должен быть единичным скачком. Таким образом, разумно потребовать, чтобы был минимально возможным при Поэтому оставшиеся коэффициенты выбираются так, чтобы минимизировать

Коэффициенты которые минимизируют Е, удовлетворяют выражениям Дифференцирование по и приравнивание производных нулю дает в результате

Если определить в виде то коэффициенты а будут удовлетворять системе линейных уравнений

Эти уравнения можно решить любыми общепринятыми методами. Можно показать [18, 19], что матрица величин является положительно определенной. Одна особенно эффективная процедура была получена Левинсоном (Levinson) [20].