Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Глава 10. Гомоморфная обработка сигналовВВЕДЕНИЕВ предыдущих главах было дано математическое представление дискретных сигналов и систем. Наше внимание было сосредоточено, главным образом, на линейных инвариантных к сдвигу системах, причем приложениям не уделялось большого внимания. Суть содержания этой главы состоит в том, чтобы представить один класс методов нелинейной обработки сигналов. Анализ этих методов будет в значительной степени основываться на материале предыдущих глав. Кроме того, эти методы нашли применение в таких областях, как улучшение изображений, анализ речи, сейсмические исследования. Класс систем, который будет рассматриваться, является обобщением класса линейных систем. Линейные инвариантные к сдвигу системы важны, так как они сравнительно просты для анализа и удобны для математического представления. Поэтому имеется возможность синтезировать линейные инвариантные к сдвигу системы, выполняющие ряд полезных функций при обработке сигналов. Например, если имеется сигнал, являющийся суммой двух компонент, которые при преобразовании Фурье занимают различные частотные диапазоны, то эти две компоненты можно разделить с помощью линейного фильтра. Тот факт, что линейные системы сравнительно просто анализируются и удобны для разделения аддитивных сигналов, является прямым следствием принципа суперпозиции, который и определяет класс линейных систем. Это приводит нас к рассмотрению классов нелинейных систем, которые подчиняются обобщенному принципу суперпозиции. Такие системы представляются линейными преобразованиями векторных пространств и поэтому называются гомоморфными системами. В этой главе будет дано краткое введение в общую теорию гомоморфных систем, а затем детально рассмотрены два класса гомоморфных систем, которые специально приспособлены для обработки сигналов, объединенных посредством умножения и свертки. Именно для этих двух классов успешно применена теория гомоморфных систем. Обобщенный принцип суперпозиции в этих случаях можно использовать точно так же, как и в линейных системах. Кроме того, убедимся, что в действительности задача синтеза гомоморфных систем для умножения и свертки сводится к задаче синтеза линейной системы. 10.1. ОБОБЩЕННАЯ СУПЕРПОЗИЦИЯПринцип суперпозиции в том виде, как он сформулирован для линейных систем, состоит в том, что если Т — преобразование сигнала, производимое системой, то для любых двух входных сигналов
Чтобы сформулировать этот принцип в общем виде, обозначим через осуществляемое системой, обобщим выражения (10.1), потребовав, чтобы выполнялись соотношения
и
О таких системах говорят, что они подчиняются обобщенному принципу суперпозиции со входной операцией
Рис. 10.1. Представление гомоморфных систем со входной операцией
Рис. 10.2. Каноническое представление гомоморфных систем Ясно, что линейные системы являются частным случаем, для которого Для использования теории линейных векторных пространств необходимо, чтобы входные и выходные операции удовлетворяли аксиомам сложения и умножения
Определение соответствующих векторных пространств и их преобразований включает ряд математических деталей, в которые мы не будем вдаваться (см. [1, 2]). Мы просто опишем основной результат, полученный при применении теории векторных пространств к системам, удовлетворяющим обобщенному принципу суперпозиции. Можно показать, что если входные сигналы системы образуют векторное пространство со сложением скаляр: а выходные сигналы системы образуют векторное пространство со сложением О и умножением на скаляр
Заметим, что
Наконец, система
Так как система Таким образом, чтобы полностью разделить сигналы операциями умножения и свертки. В каждом из этих случаев рассмотрим представление системы
|
1 |
Оглавление
|