Глава 10. Гомоморфная обработка сигналов

ВВЕДЕНИЕ

В предыдущих главах было дано математическое представление дискретных сигналов и систем. Наше внимание было сосредоточено, главным образом, на линейных инвариантных к сдвигу системах, причем приложениям не уделялось большого внимания. Суть содержания этой главы состоит в том, чтобы представить один класс методов нелинейной обработки сигналов. Анализ этих методов будет в значительной степени основываться на материале

предыдущих глав. Кроме того, эти методы нашли применение в таких областях, как улучшение изображений, анализ речи, сейсмические исследования.

Класс систем, который будет рассматриваться, является обобщением класса линейных систем. Линейные инвариантные к сдвигу системы важны, так как они сравнительно просты для анализа и удобны для математического представления. Поэтому имеется возможность синтезировать линейные инвариантные к сдвигу системы, выполняющие ряд полезных функций при обработке сигналов. Например, если имеется сигнал, являющийся суммой двух компонент, которые при преобразовании Фурье занимают различные частотные диапазоны, то эти две компоненты можно разделить с помощью линейного фильтра. Тот факт, что линейные системы сравнительно просто анализируются и удобны для разделения аддитивных сигналов, является прямым следствием принципа суперпозиции, который и определяет класс линейных систем. Это приводит нас к рассмотрению классов нелинейных систем, которые подчиняются обобщенному принципу суперпозиции. Такие системы представляются линейными преобразованиями векторных пространств и поэтому называются гомоморфными системами.

В этой главе будет дано краткое введение в общую теорию гомоморфных систем, а затем детально рассмотрены два класса гомоморфных систем, которые специально приспособлены для обработки сигналов, объединенных посредством умножения и свертки. Именно для этих двух классов успешно применена теория гомоморфных систем. Обобщенный принцип суперпозиции в этих случаях можно использовать точно так же, как и в линейных системах. Кроме того, убедимся, что в действительности задача синтеза гомоморфных систем для умножения и свертки сводится к задаче синтеза линейной системы.

10.1. ОБОБЩЕННАЯ СУПЕРПОЗИЦИЯ

Принцип суперпозиции в том виде, как он сформулирован для линейных систем, состоит в том, что если Т — преобразование сигнала, производимое системой, то для любых двух входных сигналов и любого скаляра с

Чтобы сформулировать этот принцип в общем виде, обозначим через правило объединения входных сигналов друг с другом (например, сложение, умножение, свертку и т. д.), а через — правило для объединения входных сигналов со скалярами. Аналогично будем обозначать знаком О правило объединения выходных сигналов системы и знаком правило объединения выходных сигналов со скалярами. Тогда, обозначая через Я преобразование,

осуществляемое системой, обобщим выражения (10.1), потребовав, чтобы выполнялись соотношения

и

О таких системах говорят, что они подчиняются обобщенному принципу суперпозиции со входной операцией и выходной операцией О. На рис. 10.1 дано изображение такой системы.

Рис. 10.1. Представление гомоморфных систем со входной операцией , выходной операцией О и преобразованием, осуществляемым системой

Рис. 10.2. Каноническое представление гомоморфных систем

Ясно, что линейные системы являются частным случаем, для которого и О являются сложением, а и — умножением. Математическое описание систем такого вида дает теория линейных векторных пространств. Если входные и выходные сигналы системы трактовать как векторы в векторных пространствах, сложение в которых производится по правилам , а умножение на скаляры по правилам , то преобразование, осуществляемое системой, является линейным преобразованием векторного пространства входных сигналов в векторное пространство выходных сигналов.

Для использования теории линейных векторных пространств необходимо, чтобы входные и выходные операции удовлетворяли аксиомам сложения и умножения скаляр. Это означает, например, что операции должны быть коммутативными и ассоциативными, т. е.

Определение соответствующих векторных пространств и их преобразований включает ряд математических деталей, в которые мы не будем вдаваться (см. [1, 2]). Мы просто опишем основной результат, полученный при применении теории векторных пространств к системам, удовлетворяющим обобщенному принципу суперпозиции.

Можно показать, что если входные сигналы системы образуют векторное пространство со сложением и умножением на

скаляр: а выходные сигналы системы образуют векторное пространство со сложением О и умножением на скаляр то все системы этого класса могут быть представлены в виде каскадного соединения трех систем, как показано на рис. 10.2. Эта каскадная форма называется каноническим представлением гомоморфных систем. Первая система характеризуется свойством

Заметим, что подчиняется обобщенному принципу суперпозиции со входной операцией и выходной операцией Система преобразует комбинацию сигналов объединенных по правилу , в обычную линейную комбинацию соответствующих сигналов Система является обычной линейной системой, удовлетворяющей условиям

Наконец, система преобразует сложение в О и удовлетворяет условиям

Так как система определяется операциями то поэтому она называется характеристической системой для операции . Аналогично система является характеристической системой для операции О. Кроме того, ясно, что все гомоморфные системы с одинаковыми входными и выходными операциями отличаются друг от друга только линейной частью. Этот результат очень важен. Из него следует, что после того, как мы определили характеристические системы для рассматриваемого класса, все сводится к линейной фильтрации. Например, если нужно выделить сигнал из сигнала то нужно выбрать линейную систему так, чтобы ее выходной сигнал был равен Тогда при а получим

Таким образом, чтобы полностью разделить сигналы нужно иметь возможность полностью разделять сигналы с помощью линейного фильтра. Насколько можно приблизиться к этому идеалу, зависит от операции и свойств сигналов Далее в этой главе ограничимся классами систем, у которых входные и выходные операции одинаковы. В частности, рассмотрим два класса гомоморфных систем с

операциями умножения и свертки. В каждом из этих случаев рассмотрим представление системы и классы сигналов, для которых обработка такого вида имеет преимущества по сравнению с другими методами.