11.4. СГЛАЖЕННЫЕ ОЦЕНКИ СПЕКТРА

Так как периодограмма не является состоятельной оценкой спектра и ее поведение при увеличении имеет крайне нежелательный характер, то необходимо изучить другие оценки, дающие лучшие результаты. Покажем, как можно использовать периодограмму для получения состоятельной оценки спектра. Наш интерес к периодограмме объясняется тем, что, как будет ясно в дальнейшем, ее можно легко получить, используя алгоритмы БПФ.

11.4.1. УСРЕДНЕНИЕ ПЕРИОДОГРАММ (ПРОЦЕДУРА БАРТЛЕТА)

Стандартный подход к уменьшению дисперсии оценок состоит в усреднении независимых оценок. Применение этого подхода к оценке спектра часто приписывается Бартлету. При этом подходе последовательность данных делят на К отрезков то М выборок каждый, так что т. е. формирует отрезки

и вычисляют периодограммы

Если мало при то можно предположить, что периодограммы взаимно независимы. Тогда оценка спектра определяется выражением

Математическое ожидание этой оценки спектра равно

Из (11.32) и (11.34) замечаем, что

т. е. математическое ожидание оценки Бартлета равно свертке истинного спектра с преобразованием Фурье треугольной функции окна, соответствующей М-выборочной периодограмме при Таким образом, оценка Бартлета также является смещенной. Если предположить, что К периодограмм, усредненных согласно (11.47), статистически независимы, то является выборочным средним К независимых наблюдений периодограммы Поэтому из (11.11) и (11.44) имеем

Отсюда ясно видно, что дисперсия в обратно пропорциональна числу усредняемых периодограмм и при увеличении К стремится к нулю. Таким образом, оценка Бартлета состоятельна.

Сравнение выражения (11.48) для с выражением (11.32) для показывает, что в обоих случаях

математическое ожидание оценки имеет вид свертки истинного спектра со «спектральным окном» вида

где для периодограммы и для оценки Бартлета. Смещение больше смещения из-за большей ширины главного лепестка спектрального окна. Следовательно, смещение можно связать со спектральной разрешающей способностью. При фиксированной длине выборки с увеличением числа периодограмм дисперсия уменьшается, но уменьшается и М, и поэтому ухудшается разрешающая способность. Таким образом, имеется компромисс между смещением или спектральной разрешающей способностью и дисперсией оценки в процедуре Бартлета. Конкретный выбор М и при измерении спектра будет определяться" априорными сведениями о сигнале. Например, если мы знаем, что спектр имеет очень узкий пик и если его важно выделить, то нужно выбрать М достаточно большим для получения необходимой спектральной разрешающей способности. Из выражения для дисперсии можно определить длину выборки необходимую для получения приемлемой дисперсии оценки спектра.

11.4.2. ВЫБОР ОКНА

Итак, дисперсия спектральной оценки Бартлета уменьшается за счет увеличения смещения и ухудшения спектральной разрешающей способности. В процедуре Бартлета разрешающая способность уменьшается из-за использования более коротких отрезков выборочной последовательности. Другой подход состоит в сглаживании периодограммы путем свертки ее с подходящим спектральным окном [2], т. е. если обозначает сглаженную периодограмму,

где -спектральное окно. Так как периодограмма является преобразованием Фурье от то является преобразованием Фурье от произведения на обратное преобразование Фурье от Таким образом, если — окно длины то

Окно должно быть четной последовательностью, чтобы было действительной и четной функцией при действительных . К тому же, вспомним, что спектр мощности является неотрицательной функцией частоты и, следовательно, резонно

потребовать, чтобы была также неотрицательной функцией. Отметим, что как периодограмма, так и оценка Бартлета — неотрицательные функции частоты. Из (11.50) ясно видно, что достаточным, хотя явно не необходимым, условием для неотрицательности является Это условие выполняется для треугольного окна (называемого также окном Бартлета), но не выполняется, например, для окна Хэмминга или окна Хэннинга. Поэтому последовательности, соответствующие последним окнам, могут давать отрицательные оценки спектра мощности, хотя и дают лучшую разрешающую способность по частоте и меньшие боковые лепестки.

Легко видеть, что математическое ожидание от (11.50) равно

Так как из (11.32) следует, что

то является сверткой в частотной области Поэтому является преобразованием Фурье от умноженной на треугольное окно т. е.

где Если М мало по сравнению с то будет широким по сравнению с и (11.52) будет приближенно представляться в виде

Как из (11.52), так и из (11.54) видно, что расширение спектрального окна приводит к дополнительному сглаживанию спектральной оценки и уменьшению разрешающей способности по частоте.

Для рассмотрения влияния окна на дисперсию оценки спектра можно рассчитать ковариацию сглаженной периодограммы точно так же, как это делалось ранее. Ковариация между значениями на двух частотах равна

Из (11.50) и (11.52)

поэтому

Однако из (11.43) следует, что

Если предположить, что члены узки по сравнению с изменениями и что они сильно сконцентрированы около соответственно (при большом то, приближенно вычисляя интеграл по 0, получим

Если далее предположим, что спектральное окно достаточно узко, чтобы пренебречь членом то (11.56) становится равным

Из (11.57) становится ясным, что при увеличении ширины спектрального окна увеличивается перекрытие между ковариация между оценками на различных частотах увеличивается.

Чтобы получить дисперсию спектральной оценки подставим в Тогда

Теперь предположим, что узко по сравнению с изменениями т. е. что можно выбрать ширину окна достаточно большой для получения необходимой разрешающей способности. Тогда (11.58) можно аппроксимировать выражением

В соответствии с теоремой Парсеваля

при Отсюда

Соотношения (11.54) и (11.59) являются приближенными выражениями для среднего и дисперсии спектральной оценки Эти выражения справедливы при предположениях, что ширина окна такова, что спектральное окно в одно и то же время узко по сравнению с изменениями спектра и широко по сравнению с

Чтобы понять преимущества, даваемые окном, эти выражения можно сравнить с соответствующими выражениями для периодограммы. Из (11.27) видно, что периодограмма асимптотически не смещена, т. е. Из (11.54) видно, что при увеличении длины отрезка можно сделать ширину окна большой, так что спектральное окно будет узким по сравнению с изменениями спектра откуда следует, что

Таким образом, для того чтобы сглаженная оценка спектра была асимптотически несмещенной, нужно потребовать, чтобы Как видно из (11.44), дисперсия периодограммы равна приблизительно

Следовательно, при дисперсия сглаженной периодограммы отличается от дисперсии коэффициентом

Ясно, что нужно стремиться к тому, чтобы выбрать форму окна и М, так, чтобы дисперсия была меньше дисперсии т. е. коэффициент (11.60) должен быть меньше единицы.