Глава 8. Дискретные случайные сигналы
ВВЕДЕНИЕ
В предыдущих главах основное внимание уделялось математическому представлению дискретных сигналов и систем и тем понятиям, которые следовали из такого представления. Было показано, что дискретные сигналы и системы могут быть представлены как во временной, так и в частотной области, и каждое из этих представлений занимает важное место в теории и проектировании систем цифровой обработки сигналов. До сих пор считалось, что такие сигналы были детерминированы, т. е. каждое значение некоторой последовательности однозначно определялось математическим выражением, таблицей данных или каким-либо правилом. В гл. 1 и 2 рассмотрено представление таких детерминированных сигналов с помощью 
-преобразований или преобразований Фурье. Последовательности, которые имеют 
-преобразование, должны обладать конечной энергией либо должна существовать возможность их умножения на некоторую экспоненциальную последовательность, чтобы произведение обладало конечной энергией. Требование конечного значения энергии по существу соответствует требованию сходимости 
-преобразования.
В гл. 3 рассматривались периодические последовательности. Строго говоря, z-преобразование для периодических последовательностей не существует, так как не может быть выполнено условие конечной энергии. Периодические сигналы могут быть однозначно определены параметрами одиночного периода. Одиночный период является последовательностью конечной длительности и, следовательно, конечной энергии. Это свойство периодических сигналов было использовано в гл. 3 для представления периодических сигналов с помощью рядов Фурье или дискретного преобразования Фурье.
Существует большое количество сигналов, которые либо не обладают конечной энергией, либо не являются периодическими. Например, многие сигналы систем связи имеют неограниченную длительность и, следовательно, лучше всего описываются с помощью сигналов бесконечной длительности и бесконечной энергии. В ряде случаев процессы генерирования сигналов являются настолько сложными, что их точное описание оказывается чрезвычайно трудным либо даже невозможным. В частности, в гл. 9 будет показано, что многие эффекты, встречающиеся в алгоритми-ровании цифровой обработки сигналов при конечной длине регистра, могут быть описаны с помощью аддитивного «шума», который удобно трактовать как некоторую последовательность с бесконечной энергией. Многие механические системы генерируют акустические или вибрационные сигналы, которые часто могут быть использованы для диагностики потенциальных отказов; опять же сигналы такого типа лучше всего описываются при помощи непериодических сигналов с бесконечной энергией. Двумя другими примерами — из большего числа возможных — являются речевые сигналы, подлежащие обработке для автоматического распознавания или полосового сжатия, и музыкальные сигналы, подлежащие обработке для повышения качества.
Основой математического представления подобных сигналов является их описание с помощью средних значений. Как будет изложено в данной главе, многие (но не все) свойства подобных сигналов могут быть обобщены на основе последовательности с конечной энергией, называемой автокорреляционной или автоко-вариационной последовательностью, для которой часто существует z-преобразование или преобразование Фурье. С помощью преобразования Фурье автоковариационной последовательности удобно интерпретировать мощность сигнала с помощью спектрального распределения. Автоковариационная последовательность и ее преобразование обладают также тем важным достоинством, что эффект обработки сигналов с бесконечной энергией в линейной дискретной системе может быть описан как результат воздействия системы на автоковариационную последовательность.
Развивая представление сигналов с бесконечной энергией, удобно работать с недетерминированными, т. е. случайными или стохастическими сигналами. При таком подходе рассматриваемый сигнал представляется одним из некоторого ансамбля
дискретных сигналов, который характеризуется множеством функций плотности вероятности. Теория стохастических сигналов в ее наиболее общем виде является весьма сложной и абстрактной, в связи с этим строгое исследование нуждается в математическом аппарате, лежащем за пределами нашего рассмотрения.
Главной целью этой главы являются подбор и интерпретация ряда специфических результатов, относящихся к представлению случайных сигналов (т. е. сигналов, обладающих бесконечной энергией), которые будут полезны в последующих главах. Поэтому здесь исключено детальное обсуждение наиболее сложных вопросов теории случайных процессов.
