Глава 4. Представление цифровых фильтров с помощью графов и матриц

ВВЕДЕНИЕ

В гл. 1 и 2 было рассмотрено представление линейных инвариантных к сдвигу цифровых систем, для которых соотношение между входной и выходной последовательностями определялось разностным уравнением, а передаточная функция — их z-преобразованиями. При этом основное внимание обращалось на характер взаимосвязи между входом и выходом. При построении цифрового фильтра программным путем на универсальной ЦВМ или в виде специализированного устройства эта взаимосвязь между входом и выходом должна быть преобразована в форму алгоритма вычисления. В зависимости от способа построения такой алгоритм будет определяться совокупностями либо основных математических операций, либо элементов схемы. Для построения дискретных систем, описываемых линейными разностными уравнениями с постоянными коэффициентами, в качестве основных операции целесообразно выбрать суммирование, задержку и умножение на константу. В этом случае расчетный алгоритм будет определен либо структурой программы, либо схемой устройства, устанавливающими взаимосвязь этих основных операций. В качестве примера рассмотрим систему с передаточной функцией

Из (4.1) может быть легко получено разностное уравнение, определяющее зависимость между входом и выходом системы

Это уравнение можно трактовать как расчетный алгоритм, в котором задержанные величины входной и выходной последовательностей умножаются на коэффициенты соответственно и результаты умножения суммируются. В дальнейшем будет показано, что существует очень много структур, которые в результате будут давать одну и ту же зависимость между входными и выходными выборками.

В следующих параграфах будет рассмотрено представление структур фильтров с помощью схемы, направленного графа и матричной записи. Кроме того, будет рассмотрен ряд основных структур. Следует учитывать, что две структуры могут быть эквивалентны (по отношению к характеристике взаимосвязи

между входом и выходом) в случае, когда точность представления коэффициентов и переменных в фильтре неограничена, и они могут иметь существенно различные характеристики, когда указанная точность представления ограничена. В этой главе рассматриваются эффекты представления коэффициентов в фильтре с ограниченной точностью. Эффекты усечения или округления результатов промежуточных вычислений анализируются в гл. 9.

В дальнейшем в качестве основной формы представления цифровых цепей используется представление с помощью потока сигналов, проходящего через эти цепи. Следует отметить, что для важнейших свойств цифровых цепей (теория которых достаточно разработана) ряд результатов можно позаимствовать из теории линейных сигнальных графов. В § 4.6 рассматривается одно из таких важных и полезных свойств цифровой цепи, как теорема Теледжена для направленных сигнальных графов.