2.3. ТЕОРЕМЫ О Z-ПРЕОБРАЗОВАНИИ. СВОЙСТВА Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

2.3.1. ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ РАЦИОНАЛЬНЫХ Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

При решении задач обработки сигналов важно обладать пониманием и навыками в использовании свойств -преобразования. В этом разделе мы обсудим некоторые из наиболее важных результатов. Другие теоремы и свойства можно найти в [1] и [2].

Как упоминалось ранее, для последовательности с рациональным -преобразованием область сходимости не может содержать полюсов и ограничивается либо полюсами, либо нулем, либо бесконечностью. То, что она не содержит полюсов, следует из того факта, что по определению -преобразование не сходится в полюсе. Чтобы доказать, что область сходимости ограничивается полюсами, рассмотрим сначала случай правосторонней последовательности и предположим, что полюсы находятся в точках где имеет максимальный модуль. Для простоты рассуждений будем предполагать, что все полюсы однократны, хотя это доказательство легко обобщается на случай многократных полюсов. Тогда для последовательность состоит из суммы экспонент вида

Область сходимости определяется множеством значений при которых последовательность абсолютно суммируема. Так как правосторонняя последовательность вида абсолютно суммируема только при то отсюда следует, что последовательность

Рис. 2.4. Примеры четырех -преобразований с одинаковым расположением полюсов и нулей, иллюстрирующие различные виды областей сходимости при:

а) правосторонней последовательности; б) левосторонней последовательности; в, г) двусторонних последовательностях

(2.37) имеет область сходимости, определяемую неравенством Таким образом, она ограничена изнутри полюсом с максимальным модулем, а извне — бесконечностью. Из аналогичных рассуждений следует, что область сходимости для левосторонней последовательности ограничена извне полюсом с минимальным модулем и изнутри нулем. Для двусторонних последовательностей часть полюсов соответствует а остальные Область сходимости ограничена изнутри полюсом с максимальным модулем, соответствующим , а извне — полюсом с минимальным модулем, соответствующим Для примера на рис. 2.4 изображен один и тот же график полюсов и нулей при четырех возможных случаях выбора области сходимости. В общем случае область сходимости связана. Мы не можем например, считать, что область сходимости определяется неравенствами Если бы это было допустимо, то обратное -преобразование давало бы разные последовательности в зависимости от того, как выбран контур интегрирования.

2.3.2. ЛИНЕЙНОСТЬ

Рассмотрим две последовательности с z-преобразованиями соответственно: Тогда

где область сходимости равна, по крайней мере, пересечению областей сходимости Для последовательностей с рациональными -преобразованиями, если полюсы являются объединением полюсов область сходимости точно равна пересечению областей сходимости и поэтому будет максимальным из чисел — минимальным из чисел Если линейная комбинация такова, что некоторые нули компенсируют полюсы, то область сходимости может быть больше. Простым примером такого положения является случай, когда имеют бесконечную длительность, а их линейная комбинация — конечную. В этом случае областью сходимости линейной комбинации является вся -плоскость за возможным исключением нуля и (или) бесконечности. Например, последовательности имеют область сходимости, определяемую неравенством а последовательность, соответствующая разности имеет областью сходимости всю -плоскость.

2.3.3. СДВИГ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Рассмотрим последовательность такую что Тогда для последовательности со значениями имеем

Области сходимости одинаковы, за исключением точек или Например, последовательность имеет -преобразование, которое сходится на всей -плоскости, но -преобразование от не сходится в точке а -преобразование от не сходится при Как видно из (2.39), для положительных появляются нули при и полюсы при при отрицательных полюсы появляются в начале координат а нули — в бесконечности.

2.3.4. УМНОЖЕНИЕ НА ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНУЮ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ

Если последовательность умножается на экспоненциальную последовательность где а может быть комплексным, то

Если имеет полюс при то будет иметь полюс при . В общем случае координаты всех полюсов умножаются на коэффициент а. Если а — положительное действительное число, то это можно трактовать как сжатие или растяжение -плоскости, т. е. положение полюсов и нулей сдвигается по радиальным линиям в z-плоскости. Если а — комплексное число единичного модуля, то умножение на а соответствует вращению -плоскости, т. е. положение полюсов и нулей перемещается по окружностям с центром в начале координат.

2.3.5. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ X(z)

Производная -преобразования, умноженная на есть -преобразование линейно-взвешенной исходной последовательности, т. е.

2.3.6. ПЕРЕХОД К КОМПЛЕКСНО-СОПРЯЖЕННОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

что следует из определения -преобразования.

2.3.7. ТЕОРЕМА О НАЧАЛЬНОМ ЗНАЧЕНИИ

Если равно 0 при то

Эта теорема легко доказывается рассмотрением предела каждого члена ряда (2.1).

2.3.8. СВЕРТКА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

Если — свертка двух последовательностей то -преобразование равно произведению -преобразований т. е. если

то Чтобы показать это, запишем Меняя порядок суммирования и заменяя индекс суммирования во второй сумме с на получим Поэтому для значений внутри области сходимости как так и можно записать

где область сходимости включает пересечение областей сходимости Если полюс, ограничивающий область сходимости одного из 2-преобразований, компенсируется нулем другого, то тогда область сходимости будет больше.

Пример. Пусть Соответствующие -преобразования равны

и

Преобразование свертки тогда равно

Полюсы и нули изображены па рис. 2.5, а область сходимости есть пересечение заштрихованных областей.

Последовательность может быть получена обратным -преобразованием:

где контур С выбирается в области сходимости так, как показано на рис. 2.5. При в точке нет полюсов. Поэтому, используя теорему вычетов, получим

Хотя при в точке имеются полюсы, нам не нужно вычислять контурный интеграл, чтобы убедиться, что должно быть равно нулю при 0. Заметим, что так как обе последовательности равны нулю при то и также должно равняться нулю. Заметим, что в этом примере область сходимости была равна пересечению областей сходимости, соответствующих Однако, если бы мы выбрали такой, что то тогда полюс при был бы скомпенсирован и область сходимости для простиралась бы внутрь до полюса в точке

Рис. 2.5. Диаграмма полюсов и нулей для -преобразования свертки последовательностей

2.3.9. ТЕОРЕМА О КОМПЛЕКСНОЙ СВЕРТКЕ

Мы показали, что -преобразование свертки последовательностей равно произведению -преобразований входящих в нее последовательностей. В непрерывном случае свертка временных функций приводит к произведению преобразований Фурье и аналогично свертка преобразований Фурье получается из произведения временных функций. В случае последовательностей и -преобразований нельзя ожидать такого соотношения из-за того, что последовательности дискретны, а их -преобразования непрерывны.. Однако можно вывести похожий тип соотношения, при котором -преобразование произведения последовательностей имеет похожий на свертку.

Чтобы вывести теорему о комплексной свертке, положим так что но где — контур с обходом против часовой стрелки в области сходимости Тогда

или

где — замкнутый контур в пересечении областей сходимости Другое выражение для имеет вид

— замкнутый контур в пересечении областей сходимости и Чтобы определить область сходимости, связанную с положим, что области сходимости определяются соответственно неравенствами:

Тогда в (2.46а) Объединяя эти два выражения, мы потребуем, чтобы Опять в определенных случаях область сходимости может быть больше области, определяемой этим неравенством, но всегда будет включать эту область и простираться внутрь и вовне до ближайших полюсов.

Чтобы убедиться, что (2.466) действительно похоже на свертку, выберем в качестве контура интегрирования окружность Тогда (2.466) примет вид

что по форме похоже на свертку. В частности, за исключением пределов интегрирования, приведенное выражение совпадает со свертками рассматриваемыми как функции . Отметим, что эти функции являются периодическими и интегрирование производится на протяжении одного периода. Свертка такого вида часто называется периодической сверткой (гл. 3).

При использовании теоремы о комплексной свертке в виде (2.46а) или (2.466) основная трудность состоит в том, чтобы определить, какие полюсы подынтегрального выражения находятся внутри контура интегрирования, а какие — вовне. Простой пример использования теоремы о комплексной свертке послужит иллюстрацией этой процедуры.

Пример. Пусть Тогда -преобразования соответственно равны Подставляя их в (2.46 а), получим

Подынтегральное выражение имеет два полюса, один которых расположен в

Рис. 2.6. Полюсы подыинтегрального выражения и контур интегрирования в примере на использование теоремы о комплексной свертке

точке а другой — в точке . Контур интегрирования в этом выражении должен быть в области сходимости , следовательно, будет окружать, полюс при Чтобы определить, будет ли контур окружать полюс в мы учтем, что z-преобразование справедливо только при Следовательно, соответствующее выражение для справедливо только при Таким образом, если то Следовательно, этот полюс должен лежать всегда вне контура интегрирования по Расположение полюсов и контура интегрирования показано на рис. 2.6 при предположении, что — действительные числа. Используя теорему вычетов Коши для расчета получим

Заметим, что это выражение получается в результате вычисления вычета в полюсе только внутри контура интегрирования. Легко убедиться, что если мы ошибочно подсчитаем, что полюс в точке находится внутри контура интегрирования, то результат вычисления интеграла будет всегда равен нулю.

2.3.10. СООТНОШЕНИЕ ПАРСЕВАЛЯ

Известно соотношение Парсеваля для преобразования Фурье. Обобщение этого соотношения на -преобразование следует из теоремы о комплексной свертке. В частности, мы рассмотрим две комплексные последовательности Тогда соотношение Парсеваля утверждает, что

где контур интегрирования выбирается в пересечении областей сходимости Приведенное соотношение можно вывести, определив последовательность как

учитывая, что

Тогда из соотношения (2.42) и теоремы о комплексной свертке следует, что

Поэтому, учитывая (2.49) и (2.50), получим (2.48). Если сходятся на единичной окружности, то мы можем выбрать. и (2.48) превратится в

2.3.11. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О z-ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ И СВОЙСТВАХ z-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

В предыдущих параграфах были сформулированы и выведены теоремы и свойства z-преобразований. Многие из них полезны при работе с -преобразованиями и поэтому сведены в табл. 2.1. Указанные в таблице области изменения 2 входят в область сходимости, но в некоторых случаях область сходимости больше указанных областей.

ТАБЛИЦА 2.1 (см. скан)