10.7.2. ДЕРЕВЕРБЕРАЦИЯ

Согласно предыдущему разделу речевой сигнал с преобладанием звонких звуков может быть представлен на коротком интервале времени как свертка импульса с периодической импульсной последовательностью. Физический мир насыщен сигналами, которые могут быть представлены подобными моделями. Например, во многих областях физических измерений и связи сигналы передаются или записываются в условиях реверберирующей среды.

В таких случаях сигнал можно представить в виде суммы перекрывающихся задержанных копий (отражений) основного сигнала. В качестве примеров можно привести звукозапись, обнаружение радиолокационных и звуколокационных сигналов, сейсмические измерения, электрофизиологию. В тех случаях, когда реверберация рассматривается как искажение, нам желательно восстановить основное колебание. В других случаях отражения характеризуют некоторую физическую структуру или процесс. Ниже рассмотрим несколько примеров применения гомоморфной развертки к сигналам вышеупомянутой природы.

Начнем с рассмотрения последовательности, являющейся взвешенной суммой задержанных копий последовательности

где Такой сигнал может быть представлен в виде свертки

В качестве примера для иллюстрации применения гомоморфных систем для этого класса сигналов рассмотрим случай единственного отраженного сигнала, т. е.

Преобразование Фурье от равно

Следовательно, вклад импульсной последовательности в комплексный логарифм равен

В этом простом примере периодическая функция с периодом , следовательно, мы ожидаем, что будет отлично от нуля только в моменты, кратные Если то легко показать, что

Таким образом, если изменяется медленно по сравнению с изменениями то будет разумным разделить эти две компоненты с помощью линейного инвариантного по частоте фильтра. Например, можно использовать фильтр, пропускающий только удаленные от начала отсчета времени компоненты кепстра, если нам нужно восстановить . В общем случае

Если отраженные сигналы равноудалены друг от друга, т. е. если то, как было видно из § 10.7.1, комплексный кепстр будет иметь ту же форму, как и в случае единственного отраженного сигнала. Однако в общем случае нельзя ожидать, что отраженные сигналы равноудалены друг от друга и при этом комплексный кепстр будет состоять из импульсов, появляющихся в моменты времени, связанные сложным образом с исходными задержками. В частном случае, когда — минимально-фазовая последовательность, при Кроме того, можно показать [8], что при где наименьшая задержка, и при комплексный кепстр будет состоять из импульсов, появляющихся в моменты времени

причем с увеличением амплитуды будут уменьшаться. Имея в виду замечания в § 10.5.3, нетрудно превратить неминимально-фазовую импульсную последовательность в минимально-фазовую посредством экспоненциального взвешивания, т. е. если § достаточно мало, можно добиться того, что последовательность будет минимально-фазовой. Во многих случаях выгодно применять экспоненциальное взвешивание для разделения компонент комплексного кепстра, созданных последовательностями

Учитывая эти факты, касающиеся комплексного кепстра импульсной последовательности, рассмотрим несколько примеров использования гомоморфной фильтрации для разделения компонент свертки вида (10.82).

Отражения в речевых сигналах. Во многих связных каналах речевые сигналы могут быть искажены отражениями или реверберацией. Из-за непрерывного характера речевых сигналов колебания должны обрабатываться выборками приемлемого размера с последующей подгонкой результирующих выходных отрезков для

получения составной выходной последовательности. На рис. 10.16 в показан комплексный кепстр отрезка речевого колебания. Если в (10.82) является речевым сигналом, то комплексный кепстр отрезка будет содержать импульсы, вызванные при длительности окна больше (максимальной задержки). Если наименьшая задержка больше максимального основного периода (приблизительно 15 мс), то вклад компоненты, вызванной не будет существенно перекрываться с комплексным кепстром речевого сигнала. Один из примеров показан на рис. 10.19 а.

Рис. 10.19. Комплексный кепстр отрезка речевого сигнала с отражением на расстоянии в , характеристика фильтра для удаления отражения (б)

Рис. 10.20. Пример гомоморфной обработки с целью удаления отражений: а) отрезок речевого сигнала длительностью дискретизованный с частотой и разбитый на четыре части по сигнал а) с отражением на расстоянии сигнал б), обработанный с целью удаления отражений

В этом случае выборки речи, следующие с частотой были задержаны и сложены с исходными выборками, в результате чего сигнал принимал вид

Чтобы восстановить из следует убрать компоненту комплексного кепстра, созданную отражением. Это можно сделать путем использования инвариантного по частоте фильтра, показанного на рис. 10.19 б. На рис. 10.20 а показан сигнал на рис. 10.20 б — сигнал а на рис. 10.20 в — выход системы для «гребенчатого» фильтра рис. 10.196. В этом случае речь обрабатывалась отрезками по 2048 выборок каждый, а затем результаты обработки отдельных кусков объединялись. Детали процесса объединения описаны в [8].

Сейсмические сигналы. Выражение (10.82) является также полезной моделью сейсмических сигналов. В этом случае взрыв создает импульс сейсмической энергии, распространяющийся внутри земли и отражающийся от различных слоев земной коры. На

рис. 10.21 показана модель сейсмического колебания. Импульсная последовательность содержит информацию о структуре земной коры, а сейсмическое колебание зависит от характера возбуждения и рассеяния при распространении.

Так как в общем случае сейсмические импульсы перекрываются во времени, тем самым скрывая структуру то необходимо разделить эти компоненты.

Рис. 10.21. Простая модель сейсмического колебания

В [15] показано, что к решению этой задачи можно успешно применить гомоморфную развертку. На рис. 10.22 показан синтезированный пример. Сигналы показаны соответственно на рис. 10.22 а, в. Комплексный кепстр показан на рис. 10.22 г, на рис. 10.22 д, е показаны полученные с помощью инвариантных по частоте фильтров

Рис. 10.22. (см. скан) Пример гомоморфной развертки сейсмических сигналов: а) теоретическая импульсная характеристика земной коры около Ледук, Альберта (по О. Иенсену); б) предполагаемое сейсмическое колебание; в) синтетическая сейсмограмма; г) комплексный кепстр сигнала в), экспоненциально взвешенный с , е) выходные сигналы вблизи начала координат и в удаленных от начала координат зонах

результаты, содержащие части расположенные соответственно вблизи начала координат и в удаленной от начала координат зонах. Сравнение рис. 10.22 а, д с рис. 10.22 в, е показывает значительный эффект разделения, полученный в этом примере. На рис. 10.23б показано реальное сейсмическое колебание. Комплексный кепстр показан на рис. 10.236, а результат фильтрации компоненты, расположенный около начала координат, показан на рис. 10.23 б.

Рис. 10.23. (см. скан) Пример гомоморфной развертки: а) сейсмическое колебание, происшедшее в Ледук, Альберта (Венесуэла) в комплексный кепстр сигнала а) после экспоненциального взвешивания с оценка сейсмического колебания, полученная фильтрацией б)

Эта оценка сейсмического сигнала может быть полезна при оценке его затухания и рассеяния по пути распространения. В обоих примерах применялось экспоненциальное взвешивание.