5.1.2. МЕТОДЫ РАСЧЕТОВ, ОСНОВАННЫЕ НА ЧИСЛЕННОМ РЕШЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

Вторым подходом к получению цифрового фильтра является аппроксимация производных в (5.3) с помощью конечных разностей. Этот метод является стандартной процедурой при численном анализе [5] и при цифровом моделировании аналоговых систем. Эта процедура объясняется тем интуитивным понятием, что производная аналоговой временной функции может

аппроксимироваться с помощью разности между последовательными отсчетами функции, подлежащей дифференцированию. Можно ожидать, что по мере того, как частота дискретизации увеличивается, т. е. отсчеты оказываются ближе друг к другу, точность аппроксимации производной будет возрастать. Например, предположим, что первая производная аппроксимируется обратной разностью [5]

где Аппроксимации для производных более высокого порядка получаются путем повторного применения операции

т. е.

Для удобства обозначим

С учетом (5.12) — (5.14) выражение (5.3) принимает вид

где Заметим, что операция является линейным инвариантным к сдвигу оператором и что может рассматриваться как каскадное соединение операторов . В частности,

Таким образом, взяв z-преобразования от каждой части, получим

Из сравнения (5.15) и (5.1) видно, что цифровая передаточная функция может быть получена непосредственно из аналоговой передаточной функции путем замены переменных

Замена производных конечными разностями обеспечивает точное отображение -плоскости на -плоскость в соответствии с (5.16), Предварительно было показано, что мнимая ось из -плоскости должна отображаться в единичную окружность на -плоскости и что устойчивые аналоговые фильтры должны отображаться в устойчивые цифровые фильтры. Чтобы исследовать эти вопросы

применительно к преобразованию вида (5.16), нужно выразить как функцию Заменив получим

Очевидно, что геометрическое место точек оси в -плоскости не является единичной окружностью в z-плоскости, поскольку для всех значений в (5.17). Действительно, выражение (5.17) можно записать в виде

которое соответствует окружности с центром в точке и радиусом, равным 1/2, как показано на рис. 5.5. Легко проверить, что левая половина -плоскости отображается во внутреннюю область малого круга, а правая часть -плоскости — во внешнюю область круга. Поэтому, несмотря на то что требование отображения -оси в единичную окружность не удовлетворяется, это отображение удовлетворяет условию устойчивости, так как полюсы левой половины -плоскости отображаются во внутреннюю область малого круга, который располагается внутри единичного круга.

Рис. 5.5. Отображение -плоскости на г-плоскость в соответствии с аппроксимацией производной первой обратной разностью

Полезно сопоставить этот результат с обычным интуитивным представлением. Обычно считается, что моделирование на ЦВМ. процесса обработки непрерывного сигнала, описываемого дифференциальным уравнением, может быть выполнено путем замены производных конечными разностями, если такой сигнал был дискретизирован с достаточно высокой частотой (скоростью). Например, если необходимо продифференцировать непрерывный сигнал, то мы интуитивно ожидаем, что аппроксимация производной может быть выполнена с помощью дискретизации непрерывной функции с достаточно малым шагом и формирования первой обратной разности полученной последовательности. Чтобы показать совпадение этого интуитивного подхода с только что полученным результатом, заметим, прежде всего, что если аналоговый сигнал с ограниченной полосой дискретизируется с частотой Найквиста, то спектр является ненулевым для всего единичного круга. С увеличением частоты дискретизации (уменьшением периода дискретизации) ненулевая часть спектра цифрового сигнала стягивается все в меньшую и меньшую часть единичного круга и, в частности, если выбрать период дискретизации достаточно малым, то можно сконцентрировать ненулевую часть спектра около точки в

-плоскости. Соответственно, если Т является достаточно малым в (5.13), то частотная характеристика цифрового фильтра будет концентрироваться на малой окружности (рис. 5.5) в окрестности точки Таким образом эта точка оказывается точкой касания малой и единичной окружностей. В случае, если и характеристика фильтра, и спектр сигнала сконцентрированы в такой области, то можно ожидать, что цифровой фильтр будет точно аппроксимировать аналоговый фильтр.

Другой аппроксимацией производной является прямая разность. Первая прямая разность определяется как Можно показать, что отображение, соответствующее этой аппроксимации, может привести к нестабильным цифровым фильтрам.

Главное в предыдущем примере состоит в том, что уменьшение периода дискретизации теоретически позволяет получить лучший фильтр по сравнению с методом импульсной инвариантности, так как спектр сигнала в этом случае имеет тенденцию концентрироваться в очень малую область единичного круга. Однако в общем случае нет достаточных данных для того, чтобы рекомендовать использование метода прямых или обратных разностей в цифровой обработке сигналов, так как требуемые высокие частоты дискретизации в результате приводят к очень малоэффективному представлению фильтра и входного сигнала. К тому же очевидно, что эти процедуры оказываются крайне неудовлетворительными для любых фильтров, кроме фильтров нижних частот. Поэтому мы склоняемся к рассмотрению других отображений, в которых можно избежать проблем наложения, характерных для метода импульсной инвариантности.