9.2. КВАНТОВАНИЕ ПРИ ДИСКРЕТИЗАЦИИ АНАЛОГОВЫХ СИГНАЛОВ

Результаты § 9.1 можно использовать для анализа эффектов квантования при дискретизации аналогового сигнала. В § 1.7 при рассмотрении дискретного представления непрерывной величины предполагалось, что в результате дискретизации можно получить последовательность где — ограниченный в полосе частот аналоговый сигнал. Это значит, что выборки предполагались известными с неограниченной точностью. В этом случае для представления каждой выборки теоретически требуется бесконечное число разрядов. Конечно, физические ограничения исключают квантование с неограниченной точностью, и поэтому каждая выборка должна быть либо усечена, либо округлена до соответствия ограниченному числу разрядов регистра. Поэтому на рис. 9.2 а показано представление квантования, несколько отличающееся от идеализированного.

Форма характеристики квантователя зависит от способа представления отрицательных выборок и используемых операций округления или усечения. Для определенности предположим, что выходные выборки представляются в виде дробных -разрядных чисел с фиксированной запятой в дополнительном коде.

полагается также, что точные значения входных выборок округляются до ближайшего уровня квантования, образуя квантованные выборки

Рис. 9.2. Представление квантования аналогового сигнала: а) нелинейная модель; б) статистическая модель

Чтобы непроквантованные выборки находились в пределах -разрядного числа, необходимо отнормировать аналоговый сигнал так, чтобы

При этих условиях характеристика квантователя имеет вид, показанный на где предполагается, что

Если точное значение входной выборки оказывается за пределами диапазона, определяемого (9.9), то появятся дополнительные искажения. Как показано на рис. 9.3, квантованное значение приписывается всем выборкам, превысившим а квантованное значение — 1 приписывается всем выборкам, меньшим - .

Это ограничение входных сигналов в общем случае нежелательно, и оно должно быть исключено путем уменьшения амплитуды входных сигналов до значений, пока не будет удовлетворено соотношение (9.9).

Рис. 9.3. Характеристика квантователя при округлении выборок в дополнительном коде для

Другое представление квантования показано на рис. 9.26:

где — точная выборка; - ошибка квантования. Поскольку предполагалось округление, то где А — ширина шага квантования, т. е. Чтобы рис. 9.26 был точно эквивалентен рис. 9.2 а, ошибка квантования должна быть точно известна для всех . В большинстве случаев разумно

полагать, что является неизвестной, и тогда для представления эффектов квантования может быть полезна статистическая модель, основанная на рис. 9.26. Такая модель будет использована для описания эффектов квантования в алгоритмах обработки сигналов. В частности, можно сделать следующие предположения:

1) последовательность выборок ошибки является выборочной последовательностью стационарного случайного процесса;

2) последовательность ошибок некоррелированна с последовательностью точных выборок

3) случайные величины процесса ошибок некоррелированны, т. е. ошибка является процессом типа «белый шум»;

4) распределение вероятности ошибок является равномерным по диапазону ошибок квантования.

Как будет видно, эти предположения, определяемые прежде всего целесообразностью, приводят к довольно простому анализу эффектов квантования. Можно найти примеры, где эти предположения оказываются явно необоснованными. Например, если является ступенчатой функцией, то вышеуказанные предположения не будут удовлетворяться. Однако, когда последовательность является сложным сигналом, таким, как речевой или музыкальный, быстро флуктуирующим некоторым непредсказуемым образом, эти предположения оказываются более реалистическими. Эксперименты показали [2—4], что по мере усложнения сигнала корреляция между сигналом и ошибками квантования уменьшается, и сама ошибка также становится некоррелированной. В эвристическом смысле такие предположения для статистической модели представляются справедливыми, если сигнал является достаточно сложным и шаги квантования достаточно малыми, так что амплитуда сигнала оказывается достаточной для перехода через многие уровни квантования при следовании от выборки к выборке.

В случае округления предполагалось, что распределение вероятности ошибок имеет вид, показанный на рис. 9.4 а.

Рис. 9.4. Плотности вероятности ошибок при: а) округлении; б) усечеиии

При усечении и дополнительном коде распределение вероятности полагается равномерным по всему диапазону возможных ошибок квантования, как показано на рис. 9.46. Кроме того, предполагается, что ошибка не зависит от величины сигнала. Это предположение оказывается необоснованным для усечения при обратном и прямом кодах, поскольку знак ошибки всегда противоположен знаку сигнала.

Нетрудно видеть, что среднее значение и дисперсия шума квантования должны быть равны: а) для округления и б) для усечения в дополнительном коде Предполагается, что автоковариационная последовательность ошибки равна как для округления, так и для усечения в дополнительном коде.

При цифровой обработке дискретизированных аналоговых сигналов ошибка квантования обычно рассматривается как сигнал аддитивного шума. Отношение мощности сигнала к мощности шума является полезной мерой их относительных уровней. При округлении отношение сигнал/шум равно При использовании логарифмического масштаба отношение сигнал/шум равно

и ясно, что отношение сигнал/шум увеличивается примерно на 6 дБ для каждого разряда, добавляемого к длине регистра.

Ранее отмечалось, что если входной сигнал превышает динамический диапазон квантования, то для исключения ограничения необходимо уменьшить амплитуду входных сигналов. Это значит, что вместо выборок квантуются выборки где Поскольку дисперсия равна то отношение сигнал/шум примет вид

Сравнение (9.10) и (9.11) показывает, что уменьшение амплитуды входного сигнала для снижения искажений за счет ограничения уменьшает отношение сигнал/шум. Многие аналоговые сигналы, такие, как речевые и музыкальные, могут для удобства рассматриваться как случайные процессы. Как правило, такие сигналы характеризуются распределениями вероятностей, которые возрастают в окрестностях нуля и быстро спадают с увеличением амплитуды. В таких случаях вероятность того, что величина данной выборки в 3 или 4 раза превысит среднеквадратическое значение сигнала, оказывается очень малой. Таким образом, если А устанавливается при то с высокой вероятностью не будет происходить искажений за счет ограничения. В этом случае отношение сигнал/шум составляет дБ. Таким образом, для получения отношения сигнал/шум 80 дБ потребуется разрядов. Эта взаимная связь между динамическим диапазоном и ошибками квантования является основной характеристикой представления с фиксированной запятой дискретных сигналов и алгоритмов их обработки, что будет видно из последующего изложения.

Когда квантованные сигналы обрабатываются в соответствии с некоторым алгоритмом, ошибка входного сигнала (или шум) проявляется в виде ошибки (или шума) в результирующем выходном сигнале. Например, если квантованная последовательность является входной для линейной инвариантной к сдвигу системы, то выходная последовательность может быть

представлена в виде где реакция системы на реакция на Поскольку независимые последовательности, то при вычислении мощности выходного шума можно не учитывать. Используя (8.50) и (8.53) и учитывая тот факт, что входной шум является белым, можно выразить среднее значение и дисперсию выходного шума в следующем виде:

При выводе этих выражений предполагалось, что система была реализована безошибочно. В действительности — это неверно; однако разумно предположить, что ошибки в выходном сигнале, возникающие за счет погрешности в построении системы, не зависят от ошибок, обусловленных входным шумом квантования. Поэтому ошибки, обусловленные округлением или усечением при реализации цифрового фильтра, рассматриваются отдельно, и их влияние накладывается на ошибки, обусловленные квантованием входного сигнала.