Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 3.8. ДВУМЕРНОЕ ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕВ гл. 1 и 2 мы видели, что многие из свойств преобразований одномерных сигналов можно распространить на многомерные сигналы. Аналогичные обобщения применимы к дискретным рядам Фурье и дискретным преобразованиям Фурье. Представление двумерной последовательности дискретным преобразованием Фурье имеет большое значение при дискретной обработке двумерных сигналов (фотографии и данные от решетки сейсмических датчиков). Кратко рассмотрим двумерные ДРФ и ДПФ аналогично тому, как это делалось в предыдущих параграфах этой главы. Начнем с рассмотрения определения двумерной периодической последовательности. Будем говорить, что последовательность периодична по первому индексу с периодом М и по второму индексу с периодом если где и — произвольные положительные или отрицательные целые числа. Такие последовательности имеют представление рядом Фурье в виде конечной суммы комплексных экспонент
где
Из (3.46) видно, что для целых значений и и поэтому имеет такую же периодичность, как и последовательность Одномерное дискретное преобразование Фурье вытекает из интерпретации последовательности конечной длины как одного периода периодической последовательности и представления ее дискретными рядами Фурье. Аналогичным образом можно применить двумерные ряды Фурье для представления двумерной последовательности, которая не равна нулю только в конечной области -плоскости. Такая последовательность будет называться последовательностью с конечной площадью и является двумерным аналогом последовательности конечной длительности. Результирующие представления по Фурье называются двумерным дискретным преобразованием Фурье. Чтобы вывести ДПФ для двумерных сигналов, рассмотрим последовательность с конечной площадью которая равняется нулю вне интервала и образуем периодическую последовательность
Исходная последовательность получается выделением одного периода из , т. е.
Мы определим дискретное преобразование Фурье последовательности так, чтобы она соответствовала коэффициентам ряда Фурье последовательности Однако, как мы поступали в одномерном случае, так и здесь будем стараться сохранить дуальность между временной и частотной областями, интерпретируя ДРФ коэффициенты как последовательность с конечной площадью. Таким образом, обозначая через от , получим:
Рассмотрение двумерного ДПФ с использованием одномерного ДПФ удобно, если заметить, что прямоугольная функция является разделимой и может быть записана в виде
Тогда (3.50) может быть выражено следующим образом:
Функция соответствует М-точечному одномерному ДПФ для каждого значения т. е. состоит из одномерных преобразований для каждого значения второго индекса Тогда двумерное получается согласно (3.53а) с помощью М одномерных преобразований для каждого первого индекса последовательности Выражение (3.50) может быть записано в другом виде:
Функция соответствует множеству -точечных преобразований по второму индексу, тогда получается согласно преобразованием по первому индексу. В общем двумерное ДПФ может быть выполнено с помощью одномерного преобразования сначала по второму индексу, а потом по первому или наоборот. Аналогичная трактовка, конечно, применима и к обратному ДПФ в соответствии с (3.51). Интересным частным случаем является такой, когда последовательность разделима, т. е.
В этом случае можно рассматривать раздельно являющиеся ДПФ для соответственно, причем двумерное ДПФ является произведением т. е.
Тогда вычисление только одного М-точечного ДПФ и одного -точечного ДПФ позволяет вычислить для всех и I. Ясно, что двумерное дискретное преобразование Фурье линейно, т. е. если то
где предполагается, что имеют одинаковые размерности. В случае одномерных последовательностей конечной длительности мы отмечали, что сдвиг по временной области должен интерпретироваться как вращение основного интервала . В случае двумерной последовательности с конечной площадью можно показать, что соответствующее ДПФ равно . В этом случае сдвиг в пространственной области рассматривается как вращение по первому индексу на выборок, а затем по второму на выборок. В частотной области имеется аналогичное свойство. Как для одномерного, так и для двумерного ДПФ имеется ряд свойств симметрии. Важное применение двумерного ДПФ состоит в вычислении результатов фильтрации с помощью сверток. Рассмотрим две последовательности с конечной площадью, где имеет размеры Пусть обозначают , дополненных, если необходимо, нулевыми выборками. Тогда произведение
соответствует последовательности
Выражение. (3.58) представляет собой периодическую свертку периодических последовательностей сформированных из как в (3.47). Для последовательности конечной площади это есть круговая свертка по двум измерениям. Если мы хотим получить линейную двумерную свертку мы должны быть уверены, что М и выбраны так, чтобы избежать эффекта наложения, как и в одномерном случае. Свертка последовательности размеров с последовательностью размеров дает последовательность размеров Поэтому мы должны выбрать для того, чтобы круговая свертка совпадала бы с линейной сверткой. Это иллюстрируется рис. 3.17, где заштрихованы ненулевые области, занимаемые последовательностями На рис. 3.17 наложено на .
Рис. 3.17. Реализация двумерной линейной свертки с помощью круговой свертки: Ясно, что если удовлетворяются вышеуказанные неравенства, никогда будет «заворачиваться» так, чтобы захватить ненулевую часть от , и, следовательно, круговая свертка будет совпадать с линейной сверткой. Если требуется свернуть небольшую площадь со значительно большей площадью, мы можем обобщить методы перекрытия с суммированием и перекрытия с накоплением, изложенные в предыдущем параграфе. Если одна из последовательностей, участвующая в свертке, разделима, то двумерная свертка может быть выполнена путем повторного вычисления одномерных сверток. Разделимые последовательности конечной длины часто используются при фильтрации, поскольку, как было сказано выше, вычисления при этом упрощаются.
|
1 |
Оглавление
|