3.8. ДВУМЕРНОЕ ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

В гл. 1 и 2 мы видели, что многие из свойств преобразований одномерных сигналов можно распространить на многомерные сигналы. Аналогичные обобщения применимы к дискретным рядам Фурье и дискретным преобразованиям Фурье.

Представление двумерной последовательности дискретным преобразованием Фурье имеет большое значение при дискретной обработке двумерных сигналов (фотографии и данные от решетки сейсмических датчиков). Кратко рассмотрим двумерные ДРФ и ДПФ аналогично тому, как это делалось в предыдущих параграфах этой главы. Начнем с рассмотрения определения двумерной периодической последовательности. Будем говорить, что последовательность периодична по первому индексу с периодом М и по второму индексу с периодом если где и — произвольные положительные или отрицательные целые числа. Такие последовательности имеют представление рядом Фурье в виде конечной суммы комплексных экспонент

где

Из (3.46) видно, что для целых значений и и поэтому имеет такую же периодичность, как и последовательность

Одномерное дискретное преобразование Фурье вытекает из интерпретации последовательности конечной длины как одного периода периодической последовательности и представления ее дискретными рядами Фурье. Аналогичным образом можно

применить двумерные ряды Фурье для представления двумерной последовательности, которая не равна нулю только в конечной области -плоскости. Такая последовательность будет называться последовательностью с конечной площадью и является двумерным аналогом последовательности конечной длительности. Результирующие представления по Фурье называются двумерным дискретным преобразованием Фурье.

Чтобы вывести ДПФ для двумерных сигналов, рассмотрим последовательность с конечной площадью которая равняется нулю вне интервала и образуем периодическую последовательность

Исходная последовательность получается выделением одного периода из , т. е.

Мы определим дискретное преобразование Фурье последовательности так, чтобы она соответствовала коэффициентам ряда Фурье последовательности Однако, как мы поступали в одномерном случае, так и здесь будем стараться сохранить дуальность между временной и частотной областями, интерпретируя ДРФ коэффициенты как последовательность с конечной площадью. Таким образом, обозначая через от , получим:

Рассмотрение двумерного ДПФ с использованием одномерного ДПФ удобно, если заметить, что прямоугольная функция является разделимой и может быть записана в виде

Тогда (3.50) может быть выражено следующим образом:

Функция соответствует М-точечному одномерному ДПФ

для каждого значения т. е. состоит из одномерных преобразований для каждого значения второго индекса Тогда двумерное получается согласно (3.53а) с помощью М одномерных преобразований для каждого первого индекса последовательности

Выражение (3.50) может быть записано в другом виде:

Функция соответствует множеству -точечных преобразований по второму индексу, тогда получается согласно преобразованием по первому индексу. В общем двумерное ДПФ может быть выполнено с помощью одномерного преобразования сначала по второму индексу, а потом по первому или наоборот. Аналогичная трактовка, конечно, применима и к обратному ДПФ в соответствии с (3.51).

Интересным частным случаем является такой, когда последовательность разделима, т. е.

В этом случае можно рассматривать раздельно являющиеся ДПФ для соответственно, причем двумерное ДПФ является произведением т. е.

Тогда вычисление только одного М-точечного ДПФ и одного -точечного ДПФ позволяет вычислить для всех и I.

Ясно, что двумерное дискретное преобразование Фурье линейно, т. е. если то

где предполагается, что имеют одинаковые размерности.

В случае одномерных последовательностей конечной длительности мы отмечали, что сдвиг по временной области должен интерпретироваться как вращение основного интервала . В случае двумерной последовательности с конечной площадью можно показать, что соответствующее ДПФ равно . В этом случае сдвиг в пространственной области рассматривается как вращение по первому индексу на выборок, а затем по второму на выборок. В частотной области имеется аналогичное свойство.

Как для одномерного, так и для двумерного ДПФ имеется ряд свойств симметрии. Важное применение двумерного ДПФ

состоит в вычислении результатов фильтрации с помощью сверток. Рассмотрим две последовательности с конечной площадью, где имеет размеры Пусть обозначают , дополненных, если необходимо, нулевыми выборками. Тогда произведение

соответствует последовательности

Выражение. (3.58) представляет собой периодическую свертку периодических последовательностей сформированных из как в (3.47). Для последовательности конечной площади это есть круговая свертка по двум измерениям. Если мы хотим получить линейную двумерную свертку мы должны быть уверены, что М и выбраны так, чтобы избежать эффекта наложения, как и в одномерном случае. Свертка последовательности размеров с последовательностью размеров дает последовательность размеров Поэтому мы должны выбрать для того, чтобы круговая свертка совпадала бы с линейной сверткой.

Это иллюстрируется рис. 3.17, где заштрихованы ненулевые области, занимаемые последовательностями На рис. 3.17 наложено на .

Рис. 3.17. Реализация двумерной линейной свертки с помощью круговой свертки:

Ясно, что если удовлетворяются вышеуказанные неравенства, никогда будет «заворачиваться» так, чтобы захватить ненулевую

часть от , и, следовательно, круговая свертка будет совпадать с линейной сверткой. Если требуется свернуть небольшую площадь со значительно большей площадью, мы можем обобщить методы перекрытия с суммированием и перекрытия с накоплением, изложенные в предыдущем параграфе. Если одна из последовательностей, участвующая в свертке, разделима, то двумерная свертка может быть выполнена путем повторного вычисления одномерных сверток. Разделимые последовательности конечной длины часто используются при фильтрации, поскольку, как было сказано выше, вычисления при этом упрощаются.