3.6. СВОЙСТВА ДИСКРЕТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ

Рассмотрим ряд свойств ДПФ последовательностей конечной длины. Эти свойства по существу похожи на свойства, приведенные в § 3.2 для периодических последовательностей, и

вытекают из подразумеваемой периодичности в ДПФ представлении последовательности конечной длины.. Наша цель состоит в том, чтобы вновь рассмотреть эти свойства с точки зрения последовательностей конечной длины, определенных только на интервале

3.6.1. ЛИНЕЙНОСТЬ

Если Две последовательности конечной длины линейно складываются так, что то равно Ясно, что если имеет длительность имеет длительность то максимальная длительность будет равна Поэтому в общем случае ДПФ должно вычисляться при Если, например, то является ДПФ последовательности дополненной нулями, т. е.

3.6.2. КРУГОВОЙ СДВИГ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Рассмотрим последовательность показанную на рис. 3.9а. Ее периодический аналог показан на рис. 3.9б, а — результат сдвига на выборок — на рис. 3.9в. Последовательность конечной длины, которую мы обозначим получается выделением одного периода на интервале как показано на рис. 3.9 г.

Сравнение рис. 3.9 а, ясно показывает, что не соответствует линейному сдвигу действительности обе последовательности сосредоточены на интервале от О до Из рис. 3.9б, в видно, что при сдвиге периодической последовательности и рассмотрении интервала от 0 до как только одна из выборок выходит из интервала, такая же выборка входит в интервал с другого конца. Поэтому мы можем представить себе

Рис. 3.9. Круговой сдвиг последовательности

формирование из таким образом, что как только выборка выходит из интервала от 0 до с одного конца, юна входит в него с другого.

Для трактовки такого сдвига представим, что последовательность конечной длины расположена на поверхности цилиндра в точках. При движении по поверхности цилинрра наблюдаемая последовательность будет периодической последовательностью При этом линейный сдвиг периодической последовательности соответствует вращению цилиндра. Такой сдвиг последовательности обычно называется круговым сдвигом. Более формально мы можем выразить круговой сдвиг, используя (3.23а) и (3.236). А именно, поэтому из (3.236) имеем

Теперь мы хотим связать ДПФ с ДПФ . В соответствии с § периодических последовательностей обозначаемые соответственно связаны соотношением

Следовательно, из (3.246) вытекает, что

Вследствие дуальности между временной и частотной областями аналогичные результаты справедливы при применении кругового сдвига к ДПФ коэффициентам. А именно, если есть соответственно и

то

3.6.3. СВОЙСТВА СИММЕТРИИ

В гл. 1 было рассмотрено разложение произвольной последовательности на сумму сопряженно-симметричной и сопряженно-антисимметричной компонент и дан ряд симметричных соотношений для их преобразований Фурье. При рассмотрении свойств симметрии ДПФ последовательности конечной длины мы не можем в общем случае использовать определения сопряженно-симметричной и сопряженно-антисимметричной компонент, данные в § 1.6, так как для последовательности длительности сопряженно-симметричная и сопряженно-антиснмметрич-ная компоненты имеют длительность Заметим, нако, что для периодической последовательности с периодом сопряженно-симметричная и антисимметричная компоненты также периодичны с периодом Это дает возможность разложить на две последовательности конечной длины соответствующие одному периоду сопряженно-симметричной и сопря-женно-антисимметричной компонент Будем обозначать эти компоненты Таким образом, при

мы определим следующим образом:

Ясно, что не эквивалентны определяемым (1.22). Однако можно показать, что

Другими словами, могуть быть получены с помощью процесса наложения на интервале Последовательности будут называться периодической сопряженно-симметричной и периодической сопряженно-антисимметричной компонентами Если действительны, то они будут называться периодической четной и периодической нечетной компонентами соответственно. Эта терминология может ввести в заблуждение, так как последовательности не являются периодическими, а представляют один период периодических последовательностей Выражения (3.35а) и (3.35б) определяют через Обратное соотношение, выражающее через может быть получено с помощью выражений (3.32) и (3.33): Поэтому

Объединяя (3.34) и (3.37), получим

Свойства симметрии ДПФ теперь получаются прямым применением результатов § 3.2.3.

Рассмотрим последовательность конечной длины которой есть Тогда равно а равно равно , а равно Аналогично равно , а равно

Отсюда следует, что для действительной и есть периодические четные последовательности, а и - периодические нечетные последовательности; кроме того, действительная последовательность является ДПФ для для

3.6.4. КРУГОВАЯ СВЕРТКА

В § 3.2.4 мы выяснили, что умножение коэффициентов ДРФ двух последовательностей соответствует периодической свертке этих последовательностей. Рассмотрим последовательности конечной длительности с и определим последовательность для которой коэффициенты ДПФ равны Чтобы найти применим результаты § 3.2.4. А именно, соответствует одному периоду последовательности выраженной (3.11). Поэтому

Выражение (3.39) отличается от линейной свертки определяемой (1.7). Для линейной свертки основные операции включают умножение на обращенную во времени и линейно-сдвинутую копию а также суммирование значений произведений. Чтобы получить последовательное значение свертки, эти последовательности сдвигаются по отношению друг к другу. В противоположность этому для свертки по (3.39) следует представить, что одна из последовательностей расположена на поверхности цилиндра в равноудаленных точках. Вторая последовательность обращается по времени и также располагается на поверхности цилиндра в точках. Если вообразить, что один цилиндр помещен внутрь другого, то тогда значение свертки может быть получено путем умножения значений на одном цилиндре на соответствующие значения на другом цилиндре и суммирования полученных произведений. Чтобы получить последовательные значения свертки, один цилиндр поворачивается относительно другого. Это эквивалентно формированию сначала двух периодических последовательностей и затем получению свертки по (3.11) (см. рис. 3.6). Такая свертка часто называется круговой. Круговая свертка двух последовательностей в точках будет записываться как

Пример. Простой пример круговой свертки связан с результатами § 3.6.2. Пусть — последовательность конечной длины и где Ясно, что может рассматриваться как последовательность конечной длины

Рис. 3.10. Круговая свертка двух последовательностей

Тогда равно Если сформировать произведение то мы видим по результатам § 3.6.2, что последовательностью конечной длины, соответствующей является последовательность повернутая вправо на выборок, т. е. круговая свертка последовательности с задержанным единичным импульсом дает поворот последовательности на интервале

Этот пример иллюстрируется рис. 3.10 для Здесь показаны последовательности а затем Последняя последовательность, показанная на рис. 3.10, является результатом круговой свертки

Пример. Пусть

Тогда

Поэтому

и мы видим, что Это иллюстрирует рис. 3.11. Ясно, что повороте относительно сумма произведений будет всегда равна как показано на рис. 3.11. Конечно, можно рассматривать как -точечные последовательности, пополняя их нулями. Тогда, если выполнить -точечную круговую свертку этих пополненных последовательностей, получим последовательность, изображенную на рис. 3.12, которая идентична линейной свертке последовательностей конечной длины

Этот пример указывает на одну полезную интерпретацию круговой свертки. Рассмотрим две последовательности конечной длины с преобразованиями Фурье

Последовательность соответствующая произведению и равная соответствует линейной свертке и имеет длительность выборок. Дискретные преобразования Фурье

являются выборками преобразований Фурье на частотах причем частота выборки для представления без эффекта наложения. Последовательность соответствующая равна

Рис. 3.11. -точечная круговая свертка двух прямоугольных последовательностей длины

Рис. 3.12. -точечная круговая свертка двух прямоугольных последовательностей длины

Так как имеет длительность то ясно, что будет получено из с эффектом наложения. Это можно видеть сравнивая рис. 3.12 в и 3.12 д. Рисунок соответствует -точечной круговой свертке, а рис. 3.125 соответствует круговой свертке, совпадающей с линейной сверткой двух последовательностей. Согласно (3.40), если мы выполним наложение последовательности по модулю показанной на рис. 3.125, то получим последовательность рис. 3.11 в. В том, что это так, можно убедиться, складывая вторую половину треугольной последовательности на рис. 3.125 с первой половиной и умножая результат на

Рассмотренные выше свойства дискретного преобразования Фурье сведены в табл. 3.2.

(кликните для просмотра скана)