4.2. МАТРИЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЦИФРОВЫХ ЦЕПЕЙ

Для направленного сигнального графа система линейных уравнений, полученная из (4.4) с учетом -преобразования величин, принимает вид

Если граф представляет линейную инвариантную к сдвигу систему, то каждая ветвь может быть полностью охарактеризована ее передачей. В общем случае удобно предположить, что ветви, соединяющие узлы цепи с истоками и стоками, обладают постоянными передачами, не зависимыми от . При этом не происходит потери общности, так как, в случае необходимости, можно ввести узел цепи, связанный непосредственно с пстоковым узлом, и этот узел, в свою очередь, может иметь ветви к другим узлам с непостоянной передачей. Подобная процедура может быть использована, если необходимо, и для стоковых узлов. Тогда

В результате подстановки (4.7) — (4.9) в (4.6) мы получаем систему линейных алгебраических уравнений:

Эти уравнения более компактно можно записать в матричной форме:

где — вектор-столбец величин вектор-столбец величин ; -столбец величин . Матрица является транспонированной матрицей (размерностью определяемой выражением

Для ветвей, которые отсутствуют в графе или, что эквивалентно,

Имеют нулевую передачу, соответствующий элемент в матрице будет нулевым. Матрицй является транспонированной матрицей (размерностью N X M) от матрицы

— транспонированной матрицей (размерностью матрицы Операция транспонирования матриц, обозначенная буквой необходима в выражениях (4.11) для согласованности обозначений условными индексами графов и матриц.

Уравнение (4.11а) может быть решено для путем обращения матриц

где матрица передаточной функции системы

Как следствие (4.14), можно записать выражение для сигнала в узле:

т. е. каждая узловая переменная выражается в виде линейной комбинации сигналов истоков. Если в цепи имеются только один ненулевой истоковый узел (узел а с величиной входного сигнала и только один стоковый узел с выходным сигналом причем то величина будет определяться выражением

при этом передаточная функция будет иметь вид

В том случае, когда передаточная функция каждой ветви цепи имеет порядок не выше первого, т. е. содержит либо умножитель на константу, либо такой умножитель совместно с элементом единичной задержки, то элементами матрицы в (4.11а) будут либо постоянные числа, либо постоянные, умноженные на Если отделить элементы матрицы, содержащие задержку, от элементов, которые ее не содержат, то выражение для можно представить в виде

где — матрицы размера . С учетом обозначения (4.18) выражение (4.11а) принимает вид

Аналогичным путем на основании (4.146) получается выражение для

где I — единичная матрица. Поскольку постоянные и не зависимые от матрицы, то в результате обратного z-преобразования (4.19) получим

В (4.116) подразумевается также, что

Выражения (4.21) могут, конечно, быть записаны прямо из графа или обратно, можно построить граф непосредственно из системы уравнений.

Пример. В качестве примера рассмотрим систему первого порядка, направленный сигнальный граф которой представлен на рис. 4.9. Этому графу соответствует система уравнений

Очевидно, что вид матриц и зависит от порядка расположения уравнений или, что то же самое, порядка нумерации узлов.

Рис. 4.9. Направленный сигнальный граф системы первого порядка, соответствующий выражению (4.22)

Рис. 4.10. Направленный граф цепи рис. 4.9 с измененной нумерацией узлов

На рис. 4.10 показан граф рис. 4.9 с узловыми переменными (обозначенными ), пронумерованными в другом порядке. Для этого графа можно записать следующую систему уравнений:

Из анализа графа рис. 4.9 или, что то же самое, уравнений (4.22) очевидно, что узловые переменные не могут вырабатывать последовательно, т. е. сначала затем и т. д. Так, например, величина необходима для вычисления другой стороны, тот же самый граф, но с нумерацией узлов рис. 4.10 может быть вычислен последовательным образом.

В некоторых случаях не существует способов переупорядочения узлов в графе для того, чтобы вырабатывать узловые переменные в последовательном порядке. Граф такого вида считается невычислимым. Простой пример невычислпмого графа показал на рис. 4.11, где все ветви имеют постоянную передачу. Необходимо подчеркнуть, что случай, когда граф оказывается невычислимым, не означает, что система уравнений, представляющая такой граф, не может быть решена. Это значит, что они не могут быть решены непосредственно для каждой узловой переменной в последовательном порядке.

Рис. 4.11. Пример невычислимого направленного графа

Из (4.23), соответствующих графу рис. 4.10, следует, что в матрице нулевыми элементами являются все элементы главной диагонали и все элементы, стоящие выше нее. Этого не выполняется в уравнениях (4.22), соответствующих графу рис. 4.9. Можно показать, что необходимым и достаточным условием вычислимости графа является возможность пронумеровать узлы так, чтобы в матрице были нулевыми все элементы главной диагонали и все элементы, стоящие выше нее. Также может быть показано [3], что эквивалентно необходимым и достаточным условием вычислимости графа является то, чтобы в графе не было петель с ветвями, не имеющими задержки. В графе рис. 4.11, например, есть петля, не содержащая задержки, и, следовательно, такой граф является невычислимым.

Система уравнений (4.23) может быть получена из (4.22) путем замены узловых переменных. В матричной записи это выполняется путем линейного преобразования вектора в вектор и т. е.

где Р — невырожденная постоянная матрица.

В предыдущем примере эта матрица имела вид

В более общем случае, если Р — любая невырожденная матрица, то можно записать

и, подставив это выражение в (4.21), получить

Уравнения (4.27) записаны в той же форме, что и уравнения (4.21), но соответствуют другому графу или другой схеме цепи. Таким образом, существует множество способов построения цепи - с одной и той же передаточной функцией. Этот важный факт служит основой для § 4.3 и 4.4.

В (4.21) текущие значения узловых переменных выражались через текущие и предшествовавшие величины, т. е. формируется с помощью Иногда удобно строить цепи таким образом, чтобы выражались только через значения предшествовавших величин узловых переменных и текущих значений входного сигнала. Это соответствует нулевому значению матрицы в (4.21). Если использована такая форма выражения величин в уравнениях цепи, то узловой вектор для любого момента времени , будет определяться узловым вектором в момент времени и вектором входного сигнала для Такой подход к представлению цепи эквивалентен представлению ее методом переменных состояний, хотя в нашей формулировке число состояний (узлов) оказывается, как правило, больше, чем число существенных переменных состояний, необходимых для представления цепи. Представление цепи методом переменных состояний этого типа может быть получено из представления цепи в виде соотношений (4.21). В частности, выражение (4.21а) можно записать как

Предполагая, что матрица является невырожденной, можно получить решение для в виде

Введя обозначения

получим матричное представление величин

Можно показать, что если система является вычислимой, то матрица является невырожденной. Таким образом, можно найти матричное представление в форме соотношений (4.29) Для любой вычислимой системы.

Отметим, что преобразование узловых переменных согласно (4.26) соответствует преобразованию направленного графа, т. е.

это изменяет его структуру, сохраняя в то же время соотношение между входом и выходом. Поскольку существует много преобразований типа (4.26), то имеется и много способов построения цепи, имеющих одну и ту же передаточную функцию. Однако на практике наибольшее распространение нашли лишь некоторые из них, которые и будут рассмотрены в следующем параграфе. Несмотря на то, что эти цепи связаны друг с другом линейными преобразованиями типа (4.26), целесообразно рассмотреть другие методы для их преобразования. Для этого рассмотрим БИХ- и КИХ-системы.