4.1. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЦИФРОВЫХ ЦЕПЕЙ С ПОМОЩЬЮ НАПРАВЛЕННОГО СИГНАЛЬНОГО ГРАФА

Для построения цифрового фильтра необходимо иметь предшествовавшие значения выходной, входной и промежуточной последовательностей. Это подразумевает необходимость задержки или запоминания этих величин. Наряду с этим следует обеспечить умножение задержанных выборок на коэффициенты и суммирование полученных результатов. Как отмечалось, цифровой фильтр может быть построен либо на базе регистров памяти, арифметического устройства и устройства управления универсальной ЦВМ, либо в виде специализированного цифрового устройства. В первом случае структура фильтра может рассматриваться как детализация расчетного алгоритма, на основе которого строится программа для ЦВМ. Во втором случае ее удобно представлять в виде конкретной схемы специализированного устройства.

Если обратиться к графическому представлению разностного уравнения, на базе которого построен цифровой фильтр, то основными элементами будут сумматор, элемент задержки и умножитель на константу.

Рис. 4.1. Обозначения основных операций в цифровой цепи: а) сложение двух последовательностей; б) умножение последовательности на константу; в) единичная задержка

На рис. 4.1 последовательно представлены наиболее часто используемые обозначения операций суммирования двух последовательностей (рис. 4.1а), умножения последовательности на константу (рис. 4.16) и запоминания

предшествовавших величин последовательности (рис. 4.1в). Указанное представление для единичной задержки выборочной последовательности основано на том, что -преобразованне от равно -преобразованию от умноженному на

Для иллюстрации использования вышеуказанных элементов обратимся к представлению на их основе разностного уравнения второго порядка Соответствующая цифровая цепь показана на рис. 4.2.

Рис. 4.2. Пример представления цифровой цепи второго порядка в виде схемы

Рис. 4.3. Представление разностного уравнения порядка в виде схемы

Если указанная цепь реализуется в виде программы для ЦВМ, то из рис. 4.2 следует, что необходимо обеспечить запоминание (хранение) переменных и констант и Для вычисления текущего значения выходной выборки следует сформировать произведения просуммировать их, а затем сложить полученный результат с произведением Если данная цепь строится в виде специализированного устройства, то в соответствии с рис. 4.2 в нем должны быть элементы, обеспечивающие хранение указанных переменных и констант, а также устройства для умножения и сложения. Таким образом, с помощью схем, аналогичных показанной на рис. 4.2, можно продемонстрировать либо сложность алгоритма цифрового фильтра, реализуемого на ЦВМ, либо количество необходимого оборудования специализированного устройства.

На рис. 4.3. показан еще один пример графического представления разностного уравнения с помощью схемы, в частности разностного уравнения порядка, соответствующего выражению (4.2). Следует заметить, что за счет изменения порядка построения элементов или модификации различными способами может быть получено большое разнообразие конкретных вариантов, без изменения результирующей передаточной функции. Такие различные преобразования будут соответствовать различным структурам или формам построения фильтров.

Для анализа различных структур фильтров более удобно пользоваться представлением цифровых цепей с помощью

линейных направленных сигнальных графов. Такое представление эквивалентно представлению с помощью схемы с некоторыми отличиями, обусловленными принятой формой обозначений. Приведена форма записи сигнального графа, которая будет использоваться в дальнейшем. В § 4.2 рассматривается эквивалентность представления цифровых фильтров с использованием направленных сигнальных графов и матриц.

Сигнальный направленный граф представляет цепь направленных ветвей, которые соединяются в узлах [1, 2]. Каждому узлу приписывается некоторая переменная или узловая величина. Величина, связанная с узлом обозначается Ветвь обозначает ветвь, исходящую из узла и входящую в узел с направлением от к указанным стрелкой на ветви (рис. 4.4).

Рис. 4.4. Пример изображения узлов и ветвей в направленном сигнальном графе

Рис. 4.5. Изображение истокового узла

Рис. 4.6. Изображение стокового узла

Каждая ветвь имеет входной и выходной сигналы. Входным сигналом от узла для ветви является величина выходной сигнал из ветви к узлу обозначается через Зависимость между выходным и входным сигналами ветви определяется выражением

т. е. обозначает преобразование входного сигнала ветви в ее выходной сигнал.

Для обозначения включения в граф внешних сигналов или источников использовано понятие истокового узла (или простого истока). Истоковый узел не имеет входящих ветвей. В общем случае удобно нумеровать истоковые узлы и узлы цепи по-разному. Поэтому величина, связанная с истоковым узлом обозначена а выходной сигнал ветви, соединяющей исток с узлом цепи обозначен На рис. 4.5 показано изображение истокового узла.

Аналогично использованному определению истокового узла для образования входных сигналов графа для представления его выходных сигналов удобно воспользоваться понятием стокового узла (или просто стока), т. е. узла, имеющего только входящие ветви. Стоковый узел изображен на рис. 4.6. Величина, связанная со стоковым узлом обозначена а выходной сигнал ветви, соединяющей узел цепи со стоковым узлом обозначен

По определению величина сигнала в каждом узле цепи определяется суммой выходных сигналов всех входящих в него

ветвей. Иногда для удобства записи целесообразно допустить, что между каждой парой узлов цепи в каждом направлении существует ветвь и что каждый истоковый узел соединяется с каждым узлом цепи (хотя очевидно, что некоторые из выходных сигналов ветвей могут при этом быть нулевыми). С учетом введенных обозначений и предполагая наличие в составе графа узлов цепи (пронумерованных от 1 до истоковых узлов (пронумерованных от 1 до М) и Р стоковых узлов (пронумерованных от 1 до Р), можно записать следующую систему уравнений:

В качестве примера того, как вышеприведенное понятие графа может быть использовано для представления разностного уравнения, рассмотрим схему цифрового фильтра первого порядка, показанную на рис. 4.7а. Направленный сигнальный граф, соответствующий этой цепи, показан на рис. 4.76.

Рис. 4.7. Представление цифрового фильтра первого порядка:

а) схема; б) направленный сигнальный граф

Здесь переменные ветвей представляют собой последовательности. Данная цепь имеет один истоковый узел, соединенный с узлом 1, и один стоковый узел, соединенный с узлом 3. Записывая уравнения (4.4) для этого графа, получим:

Из рис. 4.76 следует, что выходными сигналами ветвей являются.

В результате решения этих уравнений получается единственное разностное уравнение первого порядка Нетрудно видеть, что все ветви, за исключением

одной (ветви 2, 4), могут быть охарактеризованы с помощью их передаточных способностей (или просто передач), т. е. выходной сигнал просто равен входному сигналу ветви, умноженному на некоторый коэффициент. Ветвь же (2, 4) представлена оператором задержки. Действительно, в общем случае обозначает некоторый оператор преобразования входной последовательности ветви в ее выходную последовательность. Для линейных инвариантных во времени дискретных систем, описываемых разностными уравнениями, сигнальный направленный граф может также представлять соотношение между z-преобразованиями. При этом каждая ветвь может быть охарактеризована ее собственной передаточной функцией, т. е. передачей, которая является функцией Таким образом, можно записать

Для таких графов передаточная способность ветви будет обозначаться определенным индексом, записанным около стрелки, указывающей направление передачи ветви. В том случае, когда такое специальное обозначение отсутствует, будет считаться, что ветвь имеет единичную передачу. Следует отметить также, что иногда узловые переменные более удобно представлять в виде последовательностей, а не их z-преобразований. В таком случае под передачей ветви подразумевается единичная задержка входной последовательности. На рис. 4.8 показан граф цепи для предыдущего примера в той форме, которая будет использована в дальнейшем.

Рис. 4.8. Направленный сигнальный граф цепи рис. 4.76 с обозначением передач ветвей

Сравнение рис. 4.7 а с рис. 4.8 показывает, что существует прямое соответствие между ветвями в цифровой цепи и ветвями графа. Единственное важное различие между ними состоит в том, что узлы в направленном графе обозначают как точки пересечения ветвей, так и сумматоры в цифровой цепи. Так, например, узлы 1 и 3 соответствуют сумматорам, а узлы 2 и 4 — точкам соединения ветвей исходной схемы. Таким образом, изображение цифровых систем с помощью направленных сигнальных графов является средством графического представления цепей и помогает понять на основе графических перестроений их свойства.

Если все ветви направленного графа могут быть охарактеризованы их передачами, то он может быть описан системой линейных уравнений и преобразование графа эквивалентно преобразованию этой системы уравнений. Таким образом, кроме направленных сигнальных графов, для представления цифровой цепи может быть использована система линейных уравнений. Этот подход будет соответствовать матричному представлению цепи, который рассматривается в следующем параграфе.