10.3. ГОМОМОРФНАЯ ОБРАБОТКА ИЗОБРАЖЕНИЙ

Одним из примеров успешного применения гомоморфной обработки сигналов является обработка с целью улучшения изображения. Это применение основано на модели изображения в виде произведения двух компонент. С помощью гомоморфной фильтрации эти компоненты можно независимо изменить так, чтобы одновременно повысить контрастность и сжать динамический диапазон.

10.3.1. МОДЕЛЬ ФОРМИРОВАНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Изображения образуются при отражении света, т. е. изображение формируется тогда, когда происходит отражение от некоторого физического объекта световой энергии, созданной источником света. Таким образом, формирование изображения можно промоделировать как мультипликативный процесс, при котором яркость изображения является произведением функции освещенности и функции отражающей способности. Если обозначить функцию освещенности и функцию отражающей способности через соответственно, где и — непрерывные пространственные переменные, то изображение можно математически выразить так:

Так как компонента освещенности физически соответствует энергии света, то

Компонента, соответствующая отражающей способности, также всегда положительна и в соответствии с физическими соображениями не превышает единицу, т. е.

В общем, изображение можно представить в виде произведения двух положительных компонент. Таким образом, по-видимому, структура изображений идеально подходит для обработки мультипликативными гомоморфными системами.

10.3.2. ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА ИЗОБРАЖЕНИЙ

Изображения представляются в дискретном виде с помощью двумерной последовательности получаемой посредством периодической выборки пространственно ограниченного участка изображения, т. е. где А и и выбраны так, что эффектом наложения можно пренебречь. Из предыдущего следует, что можно представить в виде

где — выборки функций освещенности и отражающей способности соответственно.

Дискретное устройство гомоморфной обработки изображений имеет канонический вид, показанный на рис. 10.5. Так как то не нужно беспокоиться о неоднозначности комплексного логарифма, поэтому

Стокхэм показал [6], что выход характеристической системы хорошо соответствует функции плотности диапозитива, на котором представлено данное изображение. Поэтому можно назвать представлением интенсивности или интенсивностью, — представлением плотности или плотностью изображения.

Рис. 10.5. Канонический вид устройства гомоморфной обработки изображений

Аналогично можно назвать обработанной плотностью, а -обработанной интенсивностью. Из свойств линейных систем следует, что

где — обработанные плотности освещенности и отражающей способности соответственно. Следовательно, обработанная выходная интенсивность равна

Так как действительны (при предположении, что импульсная характеристика линейной системы действительна), то положительны. Таким образом, физическое требование того, чтобы интенсивность изображения была строго положительной, выполняется. Это свойство гарантируется для всех систем, имеющих вид, изображенный на рис. 10.5, и резко контрастирует с ситуацией, когда изображение обрабатывается линейными системами и положительность выходных сигналов в общем случае не гарантируется.

Хотя продемонстрировано, что мультипликативные гомоморфные системы хорошо согласованы со структурой изображений, остается пока не решенным вопрос реализации линейной системы, изображенной на рис. 10.5. Этот выбор конечно зависит от свойств компонент плотности . К счастью, компоненты освещенности и отражающей способности имеют резко отличающиеся характеристики. Освещенность обычно медленно изменяется в пределах сцены, хотя тени, конечно, соответствуют резким изменениям в освещенности. С другой стороны, если сцена содержит мелкие детали, компонента отражающей способности будет меняться очень быстро из-за изменений в текстуре и конфигурации. Поэтому будет разумным предположить, что освещенность является низкочастотным сигналом, а отражающая способность — высокочастотным. Аналогично плотность освещенности является медленно меняющейся функцией, а плотность отражающей способности быстро меняющейся функцией. Графики преобразования Фурье изображения или логарифма изображения обычно

характеризуются пиком в низкочастотной области и плоской частью в высокочастотной, что неявно подтверждает справедливость вышеприведенных допущений. При этом будет явным упрощением связывать пик на низких частотах только с освещенностью, а высокие частоты только с отражающей способностью.

Хотя освещенность меняется медленно, но в пределах сцены она может изменяться в большой степени, вследствие чего изображение имеет большой динамический диапазон. Это приводит к значительным трудностям при передаче изображений по каналу связи или при записи их на фотопленке. Таким образом, важная проблема обработки изображений — сжатие динамического диапазона — переключает наше внимание на обработку компоненты освещенности.

Другой важной проблемой при обработке изображений является увеличение контрастности по краям изображений объектов. Так как эти края характеризуются в основном резкими изменениями компоненты отражающей способности, то нас в этом случае будет интересовать обработка именно этой компоненты с целью изменения контрастности изображения.

Чтобы сжать динамический диапазон и усилить контрастность помощью канонической системы рис. 10.5, предположим сначала, что линейная система осуществляет идеальное частотно-независимое усиление в раз, т. е. Тогда выходное изображение будет иметь вид

Динамический диапазон изображения можно сжать путем уменьшения изменений в компоненте освещенности. Отсюда ясно, что нужно выбрать Чтобы повысить контрастность изображения, нужно так обработать компоненту отражающей способности чтобы отношение между двумя компонентами увеличилось, откуда следует требование

Процесс (10.23), соответствующий простому усилению, можно получить фотографическим способом, однако такой выбор линейной системы не всегда удовлетворителен, так как при вместе с динамическим диапазоном уменьшается и контрастность, а при контрастность увеличивается вместе с динамическим диапазоном.

Рис. 10.6. Сечение частотной характеристики, используемой в линейной части устройства гомоморфной обработки изображений для сжатия динамического диапазона и увеличения контрастности

Если вспомнить, что освещенность является низкочастотным сигналом, а отражающая способность высокочастотным, то

становится ясным, что лучший результат получится, если использовать линейный инвариантный к сдвигу фильтр с разным усилением на высоких и низких частотах. Например, на рис. 10.6 показано радиальное сечение частотной характеристики, симметричной относительно вертикальной оси с центром в начале координат. Такая система позволяет, по крайней мере приближенно, одновременно усилить контрастность и уменьшить динамический диапазон, т. е. приближенно можно представить в виде

Таким образом, для одновременного сжатия динамического диапазона и усиления контрастности нужно выбрать

Примеры улучшения изображений можно найти в [3].