2.2. ОБРАТНОЕ Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

Соотношение для обратного -преобразования можно вывести, используя теорему Коши. Согласно этой теореме

где интеграл берется против часовой стрелки по контуру С, окружающему начало координат.

Согласно § 2.1 z-преобразование определяется выражением

Умножая обе части (2.19) на и беря интеграл по контуру, окружающему начало координат и лежащему полностью в области сходимости получим

Меняя порядок интегрирования и суммирования в правой части равенства (2.20) (что допустимо в том случае, когда ряд сходится), получим

откуда согласно Следовательно, обратное -преобразование дается контурным интегралом

где С — контур с направлением обхода против часовой стрелки, расположенный в области сходимости и окружающий начало координат на -плоскости. Следует подчеркнуть, что при выводе (2.22) не делалось никаких предположений относительно положительны или отрицательны и в (2.20), и, значит, (2.22) справедливо как для положительных, так и для отрицательных

Для рациональных -преобразований контурные интегралы вида (2.22) удобно вычислять с помощью теоремы о вычетах, т. е.

В общем случае, если — рациональная функция от то ее можно записать как

когда имеет полюс порядка в точке не имеет полюсов Вычет в точке дается формулой

В частности, если в точке имеется только полюс первого порядка, то

Как пример использования обратного -преобразования, рассмотрим обратное преобразование от выведенного в предыдущем примере. Используя (2.23), получим

где контур интегрирования С является окружностью радиусом больше а. Тогда при 0 контур интегрирования содержит только один полюс в точке Следовательно, для равно При в точке имеется кратный полюс, порядок которого зависит от При этот полюс имеет первый порядок с вычетом, равным Вычет в полюсе равен Следовательно, сумма вычетов равна нулю и поэтому При

и поэтому Продолжая эту процедуру, можно проверить, что в этом примере при При больших по абсолютной величине отрицательных вычисление вычета в полюсе большого порядка становится утомительным. Хотя выражение (2.22) справедливо для всех использование его при часто приводит к громоздким вычислениям из-за высокой кратности полюса в точке

Этого можно избежать, преобразуя выражение (2.22) путем замены переменной с тем, чтобы сделать его более удобным для применения при . А именно, сделаем замену переменной в (2.22). Тогда

Заметим, что так как направление обхода контура в (2.22) было выбрано против часовой стрелки, то в (2.27) направление обхода должно быть по часовой стрелке. Умножая на и изменяя направление обхода контура в (2.27), ггридем к выражению

Если контур С в (2.22) есть окружность радиуса в 2-плоскости, то С в (2.28) —окружность радиуса в -плоскости. Полюсы которые были вне контура С, соответствуют теперь полюсам внутри контура С и наоборот. Возможно появление дополнительных полюсов и (или) нулей в начале координат и в бесконечности, но это обстоятельство не является критическим для наших доводов. Для конкретного примера, который мы рассматривали выше, с учетом этой замены переменной равно

Контур интегрирования С теперь окружность радиуса меньше При внутри этого контура интегрирования нет никаких особенностей и, следовательно, Это выражение неудобно (хотя и справедливо) для вычислений при из-за кратного полюса, появляющегося в начале координат.

Во многих случаях вычисления по (2.22) или (2.28) слишком сложны. Часто помогает ряд специальных приемов, которые рассмотрим ниже.

Степенной ряд. Если -преобразование имеет вид степенного ряда, то мы можем просто заметить, что значение последовательности есть коэффициент при в этом ряде Если дается в замкнутом виде, то часто можно вывести соответствующий степенной ряд или использовать известное разложение в ряд.

Пример. Рассмотрим -преобразование

Используя разложение в ряд для получим

Отсюда

Для рациональных -преобразований разложение в ряд может быть получено делением.

Пример. Рассмотрим -преобразование

Так как областью сходимости является внешность круга, то это преобразование соответствует правосторонней последовательности. Так как имеет конечный предел при стремлении к бесконечности, то эта последовательность физически реализуема. Поэтому мы будем производить деление так, чтобы получить ряд по степеням Проводя деление, получим

или

Пример. В качестве другого примера можно рассмотреть то же самое отношение полиномов (2.31), но с другой областью сходимости, т. е.

При такой области сходимости это преобразование соответствует левосторонней последовательности, и так как конечно при то эта последовательность равна нулю при Поэтому мы будем производить деление так, чтобы получить ряд по степеням

Следовательно,

Разложение на элементарные дроби. Другим часто используемым приемом для рациональных 2-преобразований являются разложение на элементарные дроби и нахождение обратных -преобразований для этих более простых составляющих. Если — отношение полиномов от с порядком числителя меньше порядка знаменателя и с однократными полюсами, то может быть представлено в виде разложения на элементарные дроби

где -полюсы — вычеты в этих полюсах, т. е.

Если порядок числителя выше порядка знаменателя, то к правой части (2.33) добавляется полином, порядок которого равен разности порядков числителя и знаменателя. Таким образом, если порядок равен М, а порядок и то (2.33) заменяется выражением

Коэффициенты получаются делением, по (2.34). Если имеет кратные полюсы, то в (2.35) вносятся дополнительные изменения. В частности, если имеет полюс порядка в точке то (2.35) преобразуется в

Коэффициенты определяются, как и прежде. Коэффициенты получаются из соотношения

При применении разложения на элементарные дроби мы можем рассматривать 2-преобразование как отношение полиномов или от

Пример. Рассмотрим правостороннюю последовательность с -преобразованием

Проводя разложение на элементарные дроби, полагая как отношение полиномов от получим

Так как мы предположили, что исходная последовательность является правосторонней, то и каждый член в (2.36) соответствует правосторонней последовательности. Эти -преобразования первого порядка встречались в предыдущих примерах, и поэтому можно сразу написать ответ

Нужно заметить, что метод разложения на элементарные дроби также применим и к левосторонним, и к двусторонним последовательностям. Нужно только внимательно рассмотреть вопрос о том, какие полюсы относятся к правосторонним, а какие к левосторонним последовательностям.