1.6. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА СИММЕТРИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
Имеется ряд полезных свойств симметрии преобразования Фурье. Ниже приводятся некоторые из них.
Сопряженно-симметричной последовательностью
назовем последовательность, для которой
а сопряженноантисимметричной последовательностью
— последовательность, для которой
где звездочка обозначает комплексное сопряжение. Произвольная последовательность
может быть всегда представлена в виде суммы сопряженно-симметричной и сопряженно-антисимметричной последовательностей
где
и
Действительная сопряженно-симметричная последовательность удовлетворяет соотношению
и обычно называется четной последовательностью-, действительная сопряженно-антисимметричная последовательность удовлетворяет соотношению
и обычно называется нечетной последовательностью.
Преобразование Фурье
может быть разложено на сумму сопряженно-симметричной и сопряженно-антисимметричной функций
где
и
где
- сопряженно-симметричная, а
— сопряженно-антисимметричная функции.
Как и в случае последовательностей, если действительная функция сопряженно симметрична, то ее обычно называют четной функцией, а если сопряженно антисимметрична, то — нечетной функцией.
Рассмотрим сначала общую комплексную последовательность
и ее преобразование Фурье
Можно показать, что преобразование Фурье от
равно
а преобразование Фурье от
равно
Поэтому, учитывая, что