1.6. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА СИММЕТРИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ

Имеется ряд полезных свойств симметрии преобразования Фурье. Ниже приводятся некоторые из них.

Сопряженно-симметричной последовательностью назовем последовательность, для которой а сопряженноантисимметричной последовательностью — последовательность, для которой где звездочка обозначает комплексное сопряжение. Произвольная последовательность может быть всегда представлена в виде суммы сопряженно-симметричной и сопряженно-антисимметричной последовательностей

где

и

Действительная сопряженно-симметричная последовательность удовлетворяет соотношению и обычно называется четной последовательностью-, действительная сопряженно-антисимметричная последовательность удовлетворяет соотношению и обычно называется нечетной последовательностью.

Преобразование Фурье может быть разложено на сумму сопряженно-симметричной и сопряженно-антисимметричной функций

где

и

где - сопряженно-симметричная, а — сопряженно-антисимметричная функции.

Как и в случае последовательностей, если действительная функция сопряженно симметрична, то ее обычно называют четной функцией, а если сопряженно антисимметрична, то — нечетной функцией.

Рассмотрим сначала общую комплексную последовательность и ее преобразование Фурье Можно показать, что преобразование Фурье от равно а преобразование Фурье от равно Поэтому, учитывая, что

преобразование Фурье от суммы последовательностей равно сумме преобразований, нетрудно убедиться в том, что преобразование Фурье от равно или сопряженно-симметричной части Аналогично имеет своим преобразованием Фурье сопряженно-антисимметричную часть Рассматривая преобразование Фурье сопряженно-симметричной и сопряженно-антисимметричной компонент последовательности убеждаемся в том, что преобразование Фурье от равно а преобразование Фурье от

Если -действительная последовательность, эти свойства симметрии становятся особенно наглядными и полезными. А именно, для действительной последовательности преобразование Фурье сопряженно симметрично, т. е. Представляя через действительную и мнимую части получим действительная часть преобразования Фурье — четная функция, а мнимая — нечетная. Аналогично

ТАБЛИЦА 1.1 (см. скан)

представляя в полярных координатах получим, что для действительной последовательности модуль преобразования Фурье - четная функция, а фаза - нечетная функция . Для действительной последовательности также справедливо следующее: четная часть преобразуется в а нечетная — в Все перечисленные свойства симметрии преобразования Фурье сведены в табл. 1.1.