5.6.2. АППРОКСИМАЦИИ С РАВНОВЕЛИКИМИ ПУЛЬСАЦИЯМИ ДЛЯ КИХ-ФИЛЬТРОВ

Расчет методом частотной выборки использует итерационную процедуру для получения КИХ-фильтра, имеющего наименьшую максимальную ошибку аппроксимации в полосе непропускания (наибольший минимум ослабления) при данной длине и наборе заданных частотных отсчетов, часть из которых является независимыми переменными. В случае частотно-избирательных фильтров, рассчитываемых таким методом, имеют место нежелательные ограничения на выбор частот среза. Кроме того, ошибка аппроксимации имеет тенденцию быть наибольшей около переходной полосы и иметь меньшую величину в областях, удаленных от той, в которой располагаются отсчеты переходной полосы. Интуитивно представляется разумным, что если ошибка аппроксимации была распределена по частоте равномерно, то требования, заданные при проектировании, должны удовлетворяться при фильтре более низкого порядка, чем в случае, если аппроксимация удовлетворяет требованиям только на одной частоте и значительно превышает их на других частотах. Это интуитивное представление подтверждается теоремой, которая будет рассмотрена ниже.

На протяжении всего последующего обсуждения мы будем иметь дело с КИХ-фильтрами с нулевой фазой и частотными характеристиками вида Длина импульсной характеристики равна а для нулевой фазовой характеристики требуется Мы замечаем, что физически реализуемая система может быть получена путем простой задержки на М отсчетов. Благодаря условию симметрии можно записать в виде

Отсюда следует, что является действительной. Предположим, что нам необходимо рассчитать фильтр нижних частот в соответствии со схемой допусков на ошибки аппроксимации рис. 5.42. Это значит, что необходимо аппроксимировать частотную характеристику, имеющую значение 1 в полосе частот с максимальной ошибкой и аппроксимировать ее нулевое значение в диапазоне частот с максимальной ошибкой .

Рис. 5.42. Допустимые ошибки для аппроксимации фильтра нижних частот

Рис. 5.43. Аппроксимация с равновеликими пульсациями фильтра нижних частот

Конечно, невозможно определить независимо каждый из параметров Тем не менее были разработаны алгоритмы расчета, в которых некоторые из этих параметров имели; фиксированные значения и использовалась итерационная процедура для получения оптимальных изменений остальных параметров. Были разработаны два довольно различных подхода. Херманн (Herrmann) и Шусслер (Schuessler) [27, 28], а позднее Хофштеттер (Hofstetter) и другие [29—31] получили процедуры, в которых: фиксировались, а варьировались. Паркс (Parks) и Макклеллан (McClellan) [32, 33] и Рабинер [34, 35] разработали процедуры, в которых фиксировались, а 61 и 62 варьировались. Так как работа Хермана и Шусслера была более ранней и стимулирующей последующие подходы к проблеме расчёта с равновеликими пульсациями, то мы начнем с рассмотрения этого подхода.

Предположим, что выводим аппроксимацию с равновеликими: пульсациями для частотно-избирательного фильтра нижних частот, как показано на рис. 5.43. В дальнейшем увидим, что такие аппроксимации являются оптимальными в смысле обеспечения наименьших значений 61 и 62 для заданных значений

Важным параметром аппроксимаций с равновеликими пульсациями является ряд локальных максимумов и минимумов в полосе частот При исследовании зависимости этого параметра от длины импульсной характеристики учитывается тот факт,

что можно выразить в виде суммы степеней При этом (5.59) можно записать в виде

где — константы, связанные со значениями импульсной характеристики. Из (5.60) очевидно, что является тригонометрическим полиномом М порядка и что может существовать не больше локальных максимумов и минимумов на интервале Кроме того, если продифференцировать (5.60) по , то получим

Отсюда видно, что будет всегда иметь либо максимум, либо минимум при Таким образом, будет не больше местных экстремумов в закрытом интервале .

Используя этот факт, Херман и Шусслер [27, 28] показали, как можно записать систему уравнений, гарантирующих для частотной характеристики режим с равновеликими пульсациями, показанный на рис. 5.43. Параметры и 62 являются фиксированными, а могут изменяться согласно выражениям Для аппроксимации, показанной на рис. 5.43, можно записать:

В этом случае существуют три экстремума в полосе пропускания и четыре экстремума в полосе непропускания. Поэтому мы должны иметь или N = 13. В (5.59) или (5.60) существует неизвестных коэффициентов и пять неизвестных частот на которых имеют место экстремумы, образуя в сумме 12 неизвестных, подлежащих определению в качестве решения для системы вышеприведенных 12 уравнений. Вообще можно иметь экстремумов в полосе пропускания и экстремумов в полосе непропускания, где и можно записать уравнений, связанных с коэффициентами фильтра, и частот, на которых имеют место экстремумы (два экстремума наблюдаются при Эти уравнения являются, к сожалению, нелинейными и должны решаться с помощью итерационной процедуры. Из-за численной трудности

решения нелинейных уравнений этот подход был удовлетворительным только для довольно малых значений М (порядка 30). Кроме того, для данных значений существует только М различных фильтров с равновеликими пульсациями соответственно тому факту, что могут быть выбраны только М различных значений Это значит, что для фиксированных значений имеется только М различных выборов Таким образом, несмотря на то, что расчеты на основе аппроксимации с равновеликими пульсациями, как обсуждалось ранее, будут обеспечивать самую узкую переходную полосу для данного значения М, они не имеют, по существу, преимущества по сравнению с расчетом методом частотной выборки в отношении выбора частоты среза.

Метод, разработанный Хофштеттером, Оппенгеймом и Зигелем эффективно решает проблему вычислительного ограничения подхода Хермана — Шусслера, однако, поскольку являются фиксированными, как и ранее, то остается ограничение на выбор

Вместо того, чтобы записывать систему нелинейных уравнений,

Хофштеттер и соавторы использовали итерационный метод для лучения тригонометрического полинома, который обладает экстремумом требуемой величины. Процедура начинается с выбора а затем производится оценка частот, на которых имеют то экстремумы. После этого используются стандартные методы терполяции Лагранжа [5] для вычисления полинома, который (Обеспечивает заданные экстремальные значения в полосе пропускания и в полосе непропускания) на оцениваемых тотах. Результат вычисления показан на рис. 5.44 в виде сплошной кривой для

Рис. 5.44. Типовые последовательные аппроксимации в расчетной процедуре Хофштеттера. Пунктирная кривая представляет аппроксимацию, полученную на основе определения местоположения экстремальных точек предыдущей аппроксимации (сплошная кривая) (По Хофштеттеру и [29])

Зачерненные точки соответствуют исходным оценкам экстремальных частот. Экстремумы результирующего полинома вычисляются с помощью оценки полинома для точно распределенного набора частот и поиска локального максимума и минимума для дискретного набора частот. Если максимум и минимум имеют заданные значения, то процедура заканчивается; в противном случае вычисляется новый полином с новой оценкой

(кликните для просмотра скана)

экстремальных частот, являющихся экстремумами предыдущего полинома. Пунктирной кривой на рис. 5.44 показан результирующий полином, где кружками обозначены экстремальные частоты, полученные в результате оценки.

То, что эта процедура сходится к требуемой аппроксимации с равновеликими пульсациями, было продемонстрировано расчетным путем, однако доказательство сходимости не было найдено [29]. Частотная характеристика фильтра нижних частот, рассчитанного этим методом, показана на рис. 5.45. В этом случае На рис. 5.46 показана частотная характеристика полосового фильтра, в которой имеются три разных полосы, в отличие от характеристики с двумя полосами, показанной на рис. 5.45. В этом случае первая полоса пропускания на нижних частотах содержит экстремумов, в которой аппроксимируется с максимальной ошибкой Вторая полоса на более высоких частотах содержит экстремум, и аппроксимируется с максимальной ошибкой . В полосе непропускания содержится экстремумов, и аппроксимируется с максимальной ошибкой

Эти примеры иллюстрируют гибкость метода аппроксимации с равновеликими пульсациями, однако ему присущ недостаток, связанный с необходимостью точного регулирования границ полос пропускания и непропускания. Чтобы осуществлять регулирование при фиксированном М, необходимо обеспечить возможность изменения . Паркс и Макклеллан [32, 33] показали, что при фиксированных значениях проблема расчета частотно-избирательного фильтра становится проблемой чебышевской аппроксимации для непересекающихся множеств, т. е. проблемой большой важности в теории аппроксимаций, для которой уже получен ряд очень полезных теорем и процедур [37]. Чтобы формализовать проблему аппроксимации в этом случае, определим функцию ошибки аппроксимации в виде

где оценивается для всех полос пропускания и полос непропускания требуемого фильтра, является весовой функцией.

Предположим, например, что нам необходимо получить аппроксимацию, показанную на рис. 5.42, в которой имеют фиксированные значения. В этом случае

и

(кликните для просмотра скана)

Такой выбор определяет соотношение между относительными величинами ошибок аппроксимации для полос пропускания и непропускания. Это значит, что К должно быть равно заданному отношению . В этом случае процедура расчета требует алгоритм для минимизации который эквивалентен минимизации

Паркс и Макклеллан [32] переформулировали теорему теории аппроксимации [37] применительно к рассматриваемой выше проблеме расчета фильтра, получив в результате следующую теорему.

Теорема чередования. Пусть будет любым замкнутым; подмножеством закрытого интервала Чтобы из (5.59) была единственной и наилучшей аппроксимацией на для необходимо и достаточно, чтобы функция ошибки имела на по крайней мере, «чередований». Таким образом, при принадлежащих

Применение этой теоремы уместно продемонстрировать при расчете фильтра нижних частот. В этом случае замкнутое подмножество образуется интервалами и Так как является кусочно-постоянной, то частоты, соответствующие максимумам в функции ошибок также соответствуют частотам, на которых точно удовлетворяет допустимой ошибке. Типовой пример изображен на рис. 5.47.

Рис. 5.47. Типовой пример аппроксимации частотной характеристики фильтра иижних частот, которая удовлетворяет теореме чередования

Напомним, что согласно нашему предыдущему обсуждению может иметь не более локальных максимумов и минимумов на интервале а также в комбинированных открытых интервалах Кроме того, по определению полосы пропускания и полосы непропускания, ограничивается так, чтобы Напомним также, что будет всегда иметь локальный максимум или минимум при Таким образом, может быть не более частот, на которых кривая ошибки достигает своего максимума. Поэтому единственная наилучшая аппроксимация для

заданной характеристики фильтра нижних частот имеет либо либо чередований функции ошибок. Четыре различные возможные кривые частотной характеристики для значения показаны на рис. 5.48. На рис. 5.48 а показан случай, когда максимальная ошибка достигается как при так и при и имеется чередований.

Рис. 5.48. Возможные оптимальные аппроксимации частотной характеристики фильтра нижних частот при М = 7: а) чередований (случай дополнительной пульсации); б) чередований (экстремум при чередований (экстремум при чередований (экстремумы как при так и при

На рис. 5.48 б, в показаны случаи, где максимальная ошибка достигается только при соответственно. В этих двух случаях имеется только чередований. На рис. 5.48 г показан случай, где имеется только чередований и максимальная ошибка достигается как при так и при . В соответствии с теоремой чередования все эти фильтры имеют оптимальные аппроксимации для заданных частот среза полос пропускания и непропускания. Фильтры типа показанных на рис. 5.48 а были названы Парксом и Макклелланом фильтрами «с дополнительной пульсацией» [32]. Эта терминология мотивировалась тем фактом, что такие фильтры обладали большим, чем минимальное числом ) чередований функции ошибки, требуемым для оптимальности. Если учитываются конечные точки и то фильтры, рассчитанные по методам Хермана—Шусслера и Хофштеттера, имеют точки, в которых частотная характеристика достигает заданного допуска, и поэтому эти фильтры тождественны фильтрам с дополнительной пульсацией.

В дополнение к четкой формулировке условий оптимальной КИХ-аппроксимации Паркс и Макклеллан [32] представили

также итерационную процедуру для расчета оптимальных фильтров. Эта процедура аналогична алгоритму Хофштеттера с той только разницей, что в этом случае являются фиксированными параметрами, варьируемым параметром. Согласно теореме чередований процедура начинается с нахождения оценки частот при которых функция ошибки достигает своего максимального значения. Эти частоты должны лежать в областях и Так как являются фиксированными, то равна одной из где Предполагая, что эти оцененные частоты являются заданными экстремальными частотами ошибки, можно из (5.62) вычислить значение максимальной ошибки, которое мы называем . Это значит, что можно записать систему уравнений

Эта система уравнений может быть решена для всех неизвестных однако более целесообразно сначала найти решение только для Затем определяется тригонометрический полином, который имеет заданные значения на частотах если и если Этот подход иллюстрируется на рис. 5.49, из которого видно, что оценка экстремальных точек была такой, что вычисленное значение было слишком маленьким.

Рис. 5.49. Оптимальная аппроксимация в соответствии с алгоритмом Паркса—Макклеллана

Рис. 5.50. Зависимость ширины переходной полосы от частоты среза для оптимальной аппроксимации фильтра нижних частот при

Как и в алгоритме Хофштеттера, отыскивается новая оценка экстремальных частот, соответствующих пикам интерполяционного полинома. Эти пиковые значения находятся с помощью поиска среди точно распределенного набора точек в полосе пропускания и полосе непропускания. В этом случае являются снова известными, так как они являются частотами экстремумов

функции ошибки. Кроме того, существует локальных минимумов и максимумов в открытых интервалах Оставшийся экстремум может быть либо при либо при Если пик функции ошибки существует как при О, так и при , то частота, на которой присутствует наибольшая ошибка, выбирается в качестве новой оценки экстремальной частоты. Цикл, включающий вычисление подбор полинома для предполагаемых пиков ошибки и последующее определение местоположения действительных пиков ошибки, повторяется до тех пор, пока не изменит своего предыдущего значения. Это значение и является заданным минимумом 62.

Результирующий фильтр имеет минимум для заданной переходной полосы Если заданными величинами являются и , то вышеописанный алгоритм может применяться итеративно для определения фильтра с требуемыми значениями путем фиксирования сор и изменения до тех пор, пока не будут получены заданные Обобщение результатов этого типа дано на рис. 5.50, где показана зависимость от для фиксированных значений Эта кривая показывает, что с увеличением ширина переходной полосы имеет локальные минимумы. Эти точки на кривой соответствуют фильтрам с дополнительной пульсацией ( экстремумов). Все точки, расположенные между минимумами, соответствуют фильтрам, которые являются оптимальными согласно теореме чередований. Таким образом фильтры, полученные на основе методов Хермана—Шусслера и Хофштеттера, являются частными случаями аппроксимаций, найденных с помощью алгоритма Паркса—Макклеллана.

В приведенном выше алгоритме величины всех импульсных характеристик неявно изменяются на каждой итерации для получения требуемой оптимальной аппроксимации. Заключительным этапом алгоритма является определение с помощью взятия отсчетов оптимальной частотной характеристики в или более точках и вычисления обратного дискретного преобразования Фурье.

Рабинер [34, 35] проанализировал задачу расчета фильтра при аппроксимации с равновеликими пульсациями, которая эквивалентна расчету Паркса—Макклеллана и обеспечивает возможность использования методов линейного программирования. Суть этого подхода состоит в том, что может быть выражена в виде линейной комбинации функций косинуса, как в (5.59), или в виде линейной комбинации функций вида как в (5.57). В (5.59) такими коэффициентами являются значения импульсной характеристики , а в (5.57) — значения частотных выборок . В обоих рлучаях некоторые или все коэффициенты могут изменяться симметрично для удовлетворения заданным расчетным допускам. Если только небольшое число параметров является переменным, то получаются фильтры, описанные в предыдущем параграфе.

Если все параметры изменяются, то достигаются оптимальные аппроксимации. Проектирование с использованием метода линейного программирования не обеспечивает высокой скорости вычисления, однако является более универсальным, так как в этом случае могут быть учтены ограничения как во временной, так и в частотной области. Более подробно с расчетами КИХ-фильтров при произвольных требованиях к частотной характеристике можно ознакомиться в [36].