5.2.4. ЧАСТОТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БИХ-ФИЛЬТРОВ НИЖНИХ ЧАСТОТ

Предыдущие примеры иллюстрировали использование методов импульсной инвариантности и билинейного преобразования для расчета цифровых БИХ-фильтров на основе аналоговых передаточных функций, обладающих избирательными свойствами на нижних частотах. Идеальные частотные характеристики четырех обычно используемых типов частотно-избирательных фильтров показаны на рис. 5.24. На рис. 5.24а-г изображены идеальные частотные характеристики фильтров нижних частот, верхних частот, полосового и режекторного типов соответственно. Традиционный подход к расчету подобных частотно-избирательных фильтров сводится, во-первых, к расчету нормированного по частоте низкочастотного фильтра-прототипа и затем, на основе

алгебраического преобразования, к расчету требуемого фильтра нижних частот, верхних частот, полосового или режекторного типа по данным низкочастотного фильтра-прототипа [7].

Рис. 5.24. Частотные характеристики идеальных фильтров: а) нижних частот; б) верхних частот; в) полосового; г) режекторного

В случае цифровых частотно-избирательных фильтров можно сначала рассчитать аналоговый частотно-избирательный фильтр требуемого типа и затем преобразовать этот фильтр в цифровой. Недостаток этой процедуры состоит в том, что при использовании метода импульсной инвариантности нельзя преобразовать фильтры верхних частот и режек-торный вследствие присущих ему искажений за счет эффекта наложения. Другая процедура заключается в расчете цифрового низкочастотного фильтра-прототипа с последующим выполнением для него алгебраического преобразования для того, чтобы получить требуемый частотно-избирательный цифровой фильтр Эта процедура может применяться вне зависимости от вида процедуры расчета, использованной для получения цифрового низкочастотного фильтра-прототипа.

Частотно-избирательные фильтры низкочастотного, высокочастотного, полосового и режекторного типов могут быть получены из низкочастотного цифрового фильтра путем использования рациональных преобразований, очень сходных с билинейным преобразованием, которое применялось для преобразования аналоговой передаточнрй функции в цифровую. Чтобы увидеть, как это выполняется, будем считать, что комплексная переменная связана с низкочастотной передаточной функцией а комплексная переменная — с требуемой передаточной функцией Затем определим отображение из z-плоскости на -плоскость в виде так, что где обозначает обратное отображение, т. е. При этом отображение должно быть таким, чтобы рациональная передаточная функция соответствующая устойчивому и физически реализуемому цифровому фильтру, была преобразована в рациональную передаточную функцию соответствующую снова устойчивому и

физически реализуемому цифровому фильтру. Поэтому требуется, чтобы: была рациональной функцией (или Z); 2) внутренняя область единичного круга -плоскости должна отображаться во внутреннюю область единичного круга -плоскости.

Таким образом, если 0 и являются переменными от частоты в плоскостях и соответственно, т. е. тогда при

Приведенное выше выражение определяет соотношение между частотами в плоскостях и Было показано , что наиболее общая форма функции удовлетворяющая всем вышеуказанным требованиям, имеет вид

где для устойчивости. Путем выбора соответствующих значений для и констант можно получить множество отображений. Простейшим является то, которое преобразует один фильтр нижних частот в другой фильтр нижних частот. Для этого случая

Если подставить то получим выражение из которого можно увидеть, что

Характер этой взаимозависимости для различных значений а показан на рис. 5.25.

Хотя искажение шкалы частот очевидно на рис. 5.25 (за исключением в случае, если исходная система имеет кусочно-постоянную частотную характеристику в области нижних частот с частотой среза то преобразованная система будет также иметь подобную низкочастотную характеристику с частотой среза сор, определенную выбором а. Выразив а через получим

Рис. 5.25. Искажения шкалы частот при преобразовании типа нижние частоты — нижние частоты

Таким образом, чтобы использовать эти результаты для получения фильтра нижних частот с частотой среза сор из уже имеющейся фильтра нижних частот с частотой среза следовало бы воспользоваться вышеприведенным соотношением для определения а из выражения

Аналогичным образом можно получить преобразования для фильтров верхних частот, полосовых и режекторных по данным фильтра-прототипа нижних частот. Эти преобразования сведены в табл. 5.1 [11—13].

ТАБЛИЦА 5.11 (см. скан)

В качестве примера использования этих преобразований получим параметры фильтра верхних частот по данным фильтра Чебышева нижних частот из § 5.2.2. Напомним, что частота среза низкочастотного фильтра была Используя билинейное преобразование, получим

Частотная характеристика этого фильтра показана на рис. 5.21 Предположим, что требуется получить фильтр верхних частот с частотой среза сор Из табл. 5.1

Таким образом, используя указанное в табл. 5.1 преобразование вида фильтр нижних частот — фильтр верхних частот, получим

Частотная характеристика этой системы показана на рис. 5.26. Заметим, что, за исключением некоторого искажения шкалы частот, частотная характеристика фильтра верхних частот похожа на характеристику фильтра нижних частот, сдвинутую по частоте на . Также заметим, что нуль четвертого порядка в точке для низкочастотного фильтра появляется теперь в точке для фильтра высших частот.

Рис. 5.26. Частотная характеристика фильтра верхних частот, полученная на основе частотного преобразования