5.6. МАШИННОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ КИХ-ФИЛЬТРОВ

Метод расчета с использованием окон по своему применению является прямым и в этом смысле оказывается довольно общим. Однако часто желательно спроектировать фильтр, являющийся «наилучшим», который может быть создан для данной величины Конечно, не имеет смысла обсуждать этот вопрос при отсутствии определения критерия аппроксимации. Например, в случае проектирования фильтров с использованием окон из основных результатов теории рядов Фурье следует, что прямоугольное окно Обеспечивает наилучшую среднеквадратическую аппроксимацию для требуемой частотной характеристики при данной величине Это значит, что

минимизирует выражение Однако, как будет видно, этот критерий аппроксимации приводит к нежелательному режиму при резких изменениях Лучшим критерием для многих типов фильтров является минимизация максимальной абсолютной ошибки. Например, были получены расчетные процедуры для минимизации максимальной абсолютной ошибки в одном или более частотных диапазонах.

В этом параграфе обсуждаются процедуры итерационного, расчета КИХ-фильтров, которые, как правило, дают фильтры лучше, чем процедура с использованием окон, но отличаются большей сложностью.

5.6.1. РАСЧЕТ МЕТОДОМ ЧАСТОТНОЙ ВЫБОРКИ

В гл. 3 было показано, что последовательность конечной длины можно представить с помощью ее дискретного преобразования Фурье. Таким образом, КИХ-фильтр можно представить с помощью «частотных выборок» Как было показано в гл. 3, можно представить с помощью отсчетов используя соотношение

Как было показано в гл. 4, выражение (5.56) служит основой для построения КИХ-фильтра при использовании частотной выборки. Если предположить то частотная характеристика имеет представление в виде

Выражение (5.57) означает простой, но довольно наивный подход к проектированию фильтра, т. е. определение параметров фильтра производится по отсчетам требуемой частотной характеристики, соответствующим каждому периоду дискретизации, При этом предполагается интерполяция, указанная в (5.57) и служащая для «заполнения промежутков» в дискретизованной частотной характеристике. В качестве иллюстрации этого подхода рассмотрим аппроксимацию идеального фильтра нижних частот с частотой среза рис. 5.39 а показаны требуемая частотная характеристика и отсчеты для

Рис. 5.39. Фиксированные отсчеты частотной характеристики идеального фильтра нижних частот: а) без отсчета в переходной полосе; б) с одним отсчетом в переходной полосе

Как видно, частотная характеристика: задается дискретными отсчетами с частотой, кратной рад; при частоте среза и расположенной между Фазовая характеристика выбирается линейной при задержке, равной отсчетов. Импульсную характеристику, конечно, можно получить на основе обратного дискретного преобразования Фурье, как

Если вычислить частотную характеристику, соответствующую такому фильтру, то получится нежелательный результат (рис. 5.40а). На этом рисунке представлена при этом зачерненными кружками показаны фиксированные точки взятия отсчетов частотной характеристики в полосе пропускания. Показано также, что для нулевых отсчетов в полосе непропускания ослабление бесконечно велико.

Рис. 5.40. Влияние одного отсчета из переходной полосы: а) (без отсчета); б)

Заметим, что между значениями существует плавный переход, однако минимальное ослабление в полосе непропускания несколько меньше 20 дБ. Этот фильтр был бы непригоден для большинства применений. Как было вторично показано, единственным путем для увеличения ослабления в полосе непропускания является расширение переходной полосы. В данном случае это можно легко сделать, взяв отсчет частотной характеристики на границе между полосой пропускания и полосой непропускания, имеющий значение, отличное либо от 1, либо от 0 (рис. 5.396). На рис. 5.406 показана частотная характеристика при Заметим, что сейчас переходная полоса стала примерно в 2 раза шире, однако минимальное ослабление в полосе непропускания значительно возросло.

Из (5.57) видно, что является линейной функцией от параметров Таким образом, можно использовать методы линейной оптимизации для такого изменения этих параметров, чтобы обеспечить наилучшую аппроксимацию для требуемого фильтра. Этот подход, впервые предложенный Голдом и Джорданом (Jordan) [23] и развитый Рабинером и другими [24], использовался для синтеза множества фильтров. Например, в рассматриваемом случае можно использовать простой градиентный метод поиска для выбора такого значения чтобы максимальная ошибка была минимальной или в полосе пропускания, или в полосе непропускания. На рис. 5.40в показана характеристика для — значения, которое минимизирует ошибку (максимизирует ослабление) в полосе непропускания Таким образом,

очевидно, что ослабление в полосе непропускания оказывается; значительно больше. Если требуется еще большее ослабление, то можно и далее расширить переходную полосу, взяв второй отсчет, отличающийся от 1 или 0. При этом, если сохраняется фиксированным, то ширина переходной полосы увеличивается вдвое. Однако может быть достигнуто и большее ослабление.

Конечно, если удвоить то ширина переходной полосы останется той же самой, но в то же время появляется возможность, для изменения двух отсчетов в переходной полосе. На рис. 5.41 а показан такой набор отсчетов для рассмотренного случая при

Рис. 5.41. Расчет методом частотной выборки при использовании двух отсчетов, в переходной полосе: а) требуемая частотная характеристика при фиксированном общем числе отсчетов и двух отсчетах в переходной полосе; б) результирующая оптимальная частотная характеристика при двух отсчетах в переходной полосе

На рис. 5.416 показана при Эти значения очень близки к оптимальным отсчетам переходной полосы, которые минимизируют максимальную абсолютную ошибку (максимизируют ослабление) в полосе непропускания. Как можно увидеть из сравнения рис. 5.416 и рис. 5.40в, при использовании двух отсчетов в переходной полосе и увеличении примерно в 2 раза (от 33 до 65) ослабление в полосе непропускания увеличивается примерно на 24 дБ; при этом переходная полоса становится несколько уже в сравнении с чем в случае одного отсчета в переходной полосе при

Расчеты методом частотной выборки особенно эффективны в случае узкополосных частотно-избирательных фильтров, когда лишь несколько отсчетов частотной характеристики являются ненулевыми [25, 26]. В таких случаях реализация на основе метода частотной выборки, как обсуждалось в гл. 4, может оказаться

значительно более эффективной, чем метод прямой свертки или свертки на основе ДПФ. В общем случае, даже если количество ненулевых отсчетов не очень мало, метод расчета на основе частотной выборки дает прекрасные результаты. Однако из примера расчета фильтра нижних частот становится очевидным, что этому методу не хватает гибкости в точном определении частот среза полос пропускания и непропускания, поскольку положение единиц, нулей и отсчетов в переходной полосе ограничено целочисленными значениями, кратными Выбирая достаточно большим, можно получить отсчеты произвольно близкими к любой заданной частоте, однако это является неэффективным подходом. По этой причине, особенно если фильтр не должен строиться на основе структуры с частотной выборкой, были разработаны другие методы оптимизации с более эффективными свойствами для расчета частотноизбирательного фильтра в общем виде.