8.4. РЕАКЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ НА СЛУЧАЙНЫЕ СИГНАЛЫ

В предыдущих главах рассматривалась теория дискретных лннейных систем, когда входной сигнал является известной функцией времени. Из этих предварительных обсуждений очевидно, что понятие частотной характеристики, инвариантной к сдвигу линейной системы, и представление дискретного сигнала в частотной области занимают важное место в цифровой обработке сигналов. В этом разделе мы получим ряд результатов для сигналов с неограниченной энергией, т. е. сигналов, представляемых моделью случайного процесса.

Рассмотрим устойчивую инвариантную к сдвигу линейную систему с импульсной характеристикой Пусть будет действительной входной последовательностью, которая является выборочной последовательностью стационарного в широком смысле дискретного случайного процесса. Тогда выходной сигнал линейной системы представляет собой выборочную функцию выходного случайного процесса, связанного с входным процессом линейным преобразованием Как было показано, поскольку система является устойчивой, то будет ограниченной, если также ограничена. Ниже покажем, что если входное воздействие является стационарным, то таким же является и отклик. Входной сигнал может быть охарактеризован его средним значением и его автокорреляционной функцией или мы можем также иметь дополнительную информацию об одномерном или даже двумерном распределениях вероятности. Для описания выходного случайного процесса желательно иметь аналогичную информацию. Для многих приложений оказывается достаточным характеризовать как входное, так и выходное воздействие простыми средними, такими, как среднее значение, дисперсия и автокорреляция. Поэтому мы выведем соотношения для этих величин.

Среднее значение выходного процесса есть

где мы использовали тот факт, что математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий. С помощью передаточной функции можно записать

Так как входной процесс является стационарным, то видно, что среднее значение выходного процесса также представляет собой постоянную величину.

Полагая временно, что выходной процесс является нестационарным, получаем автокорреляционную функцию выходного процесса в виде

Так как полагается стационарным, то зависит только от разности во времени Поэтому

Это значит, что выходная автокорреляционная последовательность также зависит только от разности т. Таким образом, для инвариантной к сдвигу линейной системы, на входе которой действует стационарный процесс, выходной процесс является также стационарным.

Произведя подстановку соотношение (8.52) можно выразить в виде

Последовательность вида часто называется апериодической автокорреляционной последовательностью или просто автокорреляционной последовательностью Следует подчеркнуть, что является автокорреляцией апериодической (т. е. с конечной энергией) последовательности и ее нельзя смешивать с автокорреляцией последовательности с бесконечной энергией. Действительно, можно заметить, что является просто дискретной сверткой Выражение (8.53) означает, что автокорреляция выходного процесса линейной системы является сверткой входной автокорреляции с автокорреляцией импульсной характеристики системы.

Выражение (8.53) наводит на мысль, что -преобразования могут быть полезны при описании отклика линейной инвариантной системы на входной процесс с бесконечной энергией. Положим для удобства, что т. е. что автокорреляционная и

автоковариационная последовательности равны. Тогда из (8.53) и (8.54) следует

С учетом определения спектра плотности мощности выражение (8.55) принимает вид

Выражение (8.56) дает основание для термина «спектр плотности мощности». Чтобы это увидеть, положим, что тогда из (8.51) . Поэтому

Подставляя (8.56) в (8.57), получим

Предположим, что представляет идеальный полосовой фильтр, как показано на рис. 8.5.

Рис. 8.5. Частотная характеристика идеального полосового фильтра

Напомним, что является такой четной последовательностью, что Аналогично является четной функцией . Поэтому можно записать

Таким образом, площадь под между представляет средний квадрат входного процесса в этом диапазоне частот. Заметим, что выходная мощность должна оставаться неотрицательной, таким образом Этот результат совместно с (8.59) означает, что

Таким образом, функция плотности мощности действительного сигнала является действительной, четной и положительной.

Другой интересный результат относится к взаимной корреляции между входным и выходным процессами линейной инвариантной системы

В этом случае замечаем, что взаимная корреляция между входным и выходным процессами представляет собой свертку импульсной характеристики с входной автокорреляционной последовательностью.

Если допустить так, что при этом -лреобразование существует, то можно записать

или с помощью спектра мощности

Этот результат оказывается полезным в приложениях, когда входным процессом является белый шум, т. е. При подстановке в (8.61) замечаем, что

т. е. для белого шума на входе взаимная корреляция между входным и выходным процессами линейной системы оказывается пропорциональной ее импульсной характеристике. Аналогично спектр мощности входного белого шума есть Поэтому из (8.63) получаем

т. е. взаимный спектр мощности в этом случае пропорционален частотной характеристике системы. Соотношения (8.64) и (8.65) могут служить в качестве основы для оценки импульсной характеристики или частотной характеристики линейной инвариантной системы, если оказывается возможным наблюдать выходной процесс системы в качестве реакции на входной белый шум.