5.5. РАСЧЕТ КИХ-ФИЛЬТРОВ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ОКОН

Наиболее простой подход при расчете КИХ-фильтров сводится к получению импульсной характеристики конечной длины путем усечения последовательности импульсной характеристики бесконечной длины. Если предположить, что является идеальной требуемой частотной характеристикой, то

где -соответствующая последовательность отсчетов импульсной характеристики, т. е.

В общем случае для частотно-избирательного фильтра может быть кусочно-постоянной с разрывами на границах между полосами. В таких случаях последовательность имеет бесконечную длину и должна быть усечена для получения импульсной характеристики конечной длины. Как отмечалось, выражения (5.49) могут рассматриваться как представление периодической частотной характеристики с помощью рядов Фурье, где последовательность выполняет роль «коэффициентов Фурье». Таким образом, аппроксимация заданных требований идеального фильтра с помощью усечения идеальной импульсной характеристики тождественна исследованию сходимости рядов Фурье, т. е. вопросу, который глубоко исследовался с середины восемнадцатого столетия. Наиболее хорошо известным понятием этой теории оказывается явление Гиббса. В последующем обсуждении будет видно,

как это явление неравномерной сходимости проявляет себя в расчете КИХ-фильтров.

Если имеет бесконечную длину, то единственным путем для получения физически реализуемой импульсной характеристики конечной длины является просто усечение т. е.

в других случаях.

В общем случае можно представить в виде произведения требуемой импульсной характеристики и «окна» конечной длины т. е.

где в примере для выражения (5.50)

При использовании теоремы о комплексной свертке, приведенной в гл. 2, видно, что

Это значит, что является круговой сверткой требуемой частотной характеристики с преобразованием Фурье «окна». Поэтому частотная характеристика будет «размьпой» версией требуемой характеристики На рис. 5.31а показаны типичные функции как это требуется согласно (5.53).

Рис. 5.31. Процесс свертки, подразумеваемый как усечение требуемой импульсной характеристики и типовая аппроксимация, образующаяся в результате применения функции окна к требуемой импульсной характеристике (б)

(Обе они показаны как действительные функции только для удобства в отображении процесса свертки.)

Из (5.53) видно, что если является узкой по сравнению с изменениями то будет «подобной» Таким образом, выбор окна определяется требованием иметь минимально возможной длины для того, чтобы минимизировать вычисления при выполнении фильтра, обеспечивая в то же время минимально узкой по частоте так, чтобы точно

воспроизвести заданную частотную характеристику. Эти требования являются противоречивыми, что можно увидеть в случае прямоугольного окна (5.52), где

Частотная характеристика показана на рис. 5.32 для фазовая характеристика, как видно из (5.54), является линейной. С ростом ширина «главного лепестка» уменьшается. (Главный лепесток определяется произвольно как область между значениями

Рис. 5.32. Амплитудная характеристика, полученная в результате преобразования Фурье для прямоугольного окна

Рис. 5.33. Используемые окна для расчета КИХ-фильтров

Несмотря на то что для прямоугольного окна «боковые лепестки» являются незначительными, в действительности с ростом пиковые амплитуды главного и боковых лепестков увеличиваются таким образом, что площадь под каждым лепестком остается постоянной, а ширина каждого лепестка уменьшается. В результате при увеличении частоты по мере того, как приближается к точке резкого изменения величина интеграла от будет изменяться в колебательном режиме в соответствии с изменением каждого лепестка после этой точки резкого изменения. Это показано на рис. 5.31б. Поскольку с увеличением площадь под каждым лепестком остается постоянной, то колебания происходят только более быстро, но не уменьшаются по амплитуде. В теории рядов Фурье хорошо известно, что эта неравномерная сходимость (явление Гиббса) может быть уменьшена путем использования менее резкого усечения рядов Фурье. С помощью постепенного сужения окна до нуля с каждой стороны можно уменьшить высоту боковых лепестков, что достигается за счет увеличения ширины главного лепестка и, таким образом, более широкой переходной полосы в точке резкого перехода. Примеры некоторых обычно используемых окон

показаны на рис. 5.33. Эти окна определяются следующими выражениями [21]: для прямоугольного

для окна Бартлета (Bartlett)

для окна с хэннингом (Hanning)

для окна Хемминга (Hamming.)

для окна Блэкмана (Blackman)

Функция вычерчена на рис. 5.34 для каждого из этих окон при Заметим, что поскольку эти окна являются симметричными, то фазовая характеристика оказывается линейной. Очевидно, что прямоугольное окно имеет самый узкий главный лепесток и, таким образом, для заданной длины должно давать самые крутые спады характеристики переходных полос в точках резкого изменения Однако, поскольку первый боковой лепесток оказывается ниже главного пика только примерно на 13 дБ, возникают колебания значительной величины при резком изменении . С помощью постепенного сужения окна до нуля боковые лепестки значительно понижаются, однако при этом появляются гораздо более широкий главный лепесток и более широкие переходные полосы в точках резких изменений На Кайзер [4] предложил универсальное семейство окон, определяемых выражением

где — модифицированная функция Бесселя первого рода и нулевого порядка. Кайзер показал, что эти окна являются близкими к оптимальным в смысле обладания наибольшей энергией в главном лепестке при данной амплитуде пика бокового лепестка. Параметр можно подобрать так, чтобы обеспечить компромисс между шириной главного лепестка и пиком амплитуды бокового

Рис. 5.34. (см. скан) Преобразования Фурье для окон рис. 5.33: а) прямоугольного; б) Бартлета (треугольного); в) с хэннингом; г) Хемминга; д) Блэкмана

лепестка. Типичные значения лежат в диапазоне

В качестве иллюстрации использования окон при проектировании фильтров рассмотрим расчет фильтра нижних частот. Для выполнения условия необходимой задержки при получении физически реализуемого фильтра с линейной фазовой характеристикой заданная частотная характеристика определяется в виде

Соответствующая импульсная характеристика имеет вид

Очевидно, что имеет бесконечную длину. Чтобы создать

физически реализуемый фильтр с конечной длиной импульсной характеристики и линейной фазой, обозначим где Нетрудно проверить, что если является симметричной, то такой выбор а приводит к последовательности удовлетворяющей (5.47). На рис. 5.35 показан график для прямоугольного окна при и

Рис. 5.35. Усеченная импульсная характеристика идеального фильтра нижних частот (задержка равна 25 отсчетам, общая длина — 51 отсчету, а частота среза —

Рис. 5.36. (см. скан) Влияние различных окон для примера рис. 5.35:

а) прямоугольного; б) Бартлета; в) с хэннингом; г) Хемминга; д) Блэкмана

На рис. 5.36 показаны зависимости для импульсной характеристики рис. 5.35 с учетом взвешивания для каждого из пяти окон рис. 5.34. Отмечаем, что увеличение ширины переходной полосы соответствует

увеличению ширины главного лепестка, а увеличение ослабления в полосе непропускания соответствует уменьшению амплитуды бокового лепестка.

Из (5.54) следует, что ширина центрального лепестка обратно пропорциональна N. Это в общем случае верно и иллюстрируется для окна Хемминга на рис. 5.37.

Рис. 5.37. (см. скан) Зависимость ширнны центрального лепестка при преобразовании Фурье для окна Хемминга от длины окна:

Из рисунка совершенно очевидно, что при увеличении вдвое ширина центрального лепестка уменьшается наполовину. На рис. 5.38 показано влияние увеличения на переходную полосу при проектировании фильтра нижних частот. Очевидно, что минимальное ослабление в полосе

Рис. 5.38. (см. скан) Влияние длины окна при расчете фильтра (фильтр нижних частот, и окно Хемминга): а)

непропускания остается, по существу, постоянным, будучи зависимым от формы окна, в то время как ширина переходной области: при резком изменении зависит от длины окна.

Приведенные примеры иллюстрируют основные принципы метода использования окон при проектировании КИХ-фильтра. За счет выбора формы окна и его длины можно осуществить некоторое управление процессом расчета. Например, для заданного ослабления в полосе непропускания, как правило, оказывается справедливо условие типа где — ширина переходной полосы [приблизительно ширина главного лепестка и А — постоянная, зависящая от формы окна. Как было показано, форма, окна является существенной при определении минимального ослабления в полосе непропускания. Для окон, которые мы рассмотрели, основные параметры для расчета фильтра нижних частот сведены в табл. 5.2. Следует отметить, что величины в табл. 5.2 являются приближенными; они зависят до некоторой степени от и частоты среза требуемого фильтра.

ТАБЛИЦА 5.2 (см. скан)

Окна Кайзера имеют изменяемый параметр выбором которого определяется компромисс между амплитудой бокового лепестка и его шнриной. Таблицы и кривые, определяющие области применения этих окон, даны Кайзером в [4, 22].

Основные принципы, проиллюстрированные приведенными примерами, являются справедливыми в общем случае и могут применяться при расчете любого фильтра, для которого можно задать требуемую частотную характеристику. В этом смысле метод имеет большую общность. Однако сложность метода заключается в оценке интеграла в (5.496). Если не может быть выражена с помощью простых функций, для которых можно выполнить интегрирование, то аппроксимация для должна быть получена путем дискретизации и использования обратного дискретного преобразования Фурье, чтобы вычислить Если М велико, то можно ожидать, что будет хорошей аппроксимацией для на интервале окна. Другим ограничением процедуры является то, что до некоторой степенн трудно заранее определить тип окна и длину необходимые для удовлетворения заданным требованиям

частотной характеристики. Однако для определения этих параметров можно воспользоваться очень простой программой для ЦВМ, основанной на методе проб и ошибок. Таким образом, расчет цифровых фильтров с использованием окон часто оказывается удобным и удовлетворительным подходом.