8.1.2. ОПИСАНИЯ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

Формально дискретный случайный процесс является индексированным семейством случайных величин Такое семейство случайных величин характеризуется совокупностью функций распределения вероятности, которые в общем случае могут быть функцией индекса При использовании понятия случайного процесса в качестве модели для случайных сигналов такой индекс ассоциируется с временем или с некоторой другой физической

величиной. Отдельная случайная величина описывается функцией распределения вероятности

где обозначает случайную величину и является частным значением Если принимает непрерывный ряд значений, то она эквивалентно определяется функцией плотности вероятности

В предыдущем примере случайные величины были квантованными, т. е. они принимали конечное число значений, равное двум. Для этого примера распределение имеет вид

В подобных случаях производная не существует, если не используется дельта-функция. Поэтому вместо предыдущего мы определим вероятностную меру квантованной случайной величины в виде

Для квантованных случайных величин распределение вероятности связано с вероятностной мерой соотношением

Распределение вероятности и соответствующая вероятностная мера для процесса Бернулли показаны на рис. 8.3.

Рис. 8.3. Распределение вероятности случайной величины для закона Бернулли (а); соответствующая вероятностная мера (б)

Взаимная зависимость двух случайных величин случайного процесса описывается функцией совместного распределения вероятности

или, для случая непрерывных случайных величин, совместной плотностью вероятности

В случае квантованных случайных величин совместная вероятностная мера определяется как

При формулировании процесса Бернулли мы полагали, что последовательные подбрасывания монеты были независимыми, т. е. для данного подбрасывания монеты вероятность выпадания гербов (или решеток) не зависит от исходов любых других подбрасываний. В этом случае такие случайные величины являются статистически независимыми, т. е.

Для полной характеристики случайного процесса требуется знание всех совместных распределений вероятности. Как мы отмечали, эти функции распределений вероятности могут быть функцией временного индекса . В этом случае, когда все функции вероятности оказываются не зависимыми от сдвига начала отсчета по времени, такой случайный процесс называется стационарным. Например, двумерное распределение стационарного процесса удовлетворяет условию

Процесс Бернулли является примером стационарного процесса, так как предполагается, что при подбрасывании монеты вероятность выпадания герба была всегда равна и каждая случайная величина предполагалась не зависимой от всех других.

Во многих приложениях цифровой обработки сигналов случайные процессы используются в качестве моделей сигналов с бесконечной энергией, которые могут рассматриваться в качестве выборочной последовательности случайного процесса. Хотя конкретные детали подобных сигналов оказываются непредсказуемыми, некоторые усредненные свойства ансамбля могут быть прогнозированы на основе заданного вероятностного закона процесса. Эти усредненные свойства часто служат полезной, хотя и неполной характеристикой сигналов, для которых не существует преобразование Фурье.