5.2.3. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ

Было показано, что если ошибку аппроксимации распределить в полосе пропускания равномерно, как в случае аппроксимации Чебышева, то можно удовлетворить расчетным требованиям при фильтре более низкого порядка, чем в случае монотонного возрастания ошибки в полосе пропускания, как при аппроксимации Баттерворта. Отметим, что при расчетах по методам как Чебышева, так и Баттерворта ошибка в полосе непропускания монотонно уменьшается с частотой, тем самым увеличивая возможность дальнейших улучшений аппроксимации, если ошибку в полосе непропускания распределить равномерно. Для примера рассмотрим аппроксимацию фильтра нижних частот, показанную на рис. 5.22. Действительно, можно показать [10], что этот тип аппроксимации (т. е. с равновеликими пульсациями в полосах пропускания и непропускания), который является наилучшим, можно достичь, когда для данного порядка фильтра и заданных значений переходная полоса оказывается минимально возможной. Это значит, что такой тип аппроксимации обеспечивает получение частотно-избирательного фильтра с наибольшей крутизной характеристики на частоте среза.

Для аналоговых фильтров такая аппроксимация имеет вид где — эллиптическая функция Якоби.

Рис. 5.22. Аппроксимация с равновеликими пульсациями в полосах пропускания и непропускания

Рис. 5.23. Частотная характеристика эллиптического фильтра третьего порядка, полученного на основе билинейного преобразования

Чтобы получить ошибку с равновеликими пульсациями как в полосе пропускания, так и в полосе непропускания, эллиптические фильтры должны иметь как полюсы, так и нули. Как видно из рис. 5.22, нули такого фильтра лежат на оси в -плоскости. Рассмотрение расчета эллиптического фильтра, даже самое

поверхностное, не входит в задачу данного параграфа. Для более детального рассмотрения рекомендуются книги Гайлемина (Guille-min) [7], Сторера (Storer) [8], Голда и Рэйдера [1]. Главная цель состоит в том, чтобы просто подчеркнуть, что этот метод аппроксимации приводит к иаилучшей амплитудной характеристике в указанном выше смысле. Поскольку билинейное преобразование искажает только шкалу частот, то очевидно, что цифровые фильтры, полученные из аналоговых фильтров путем билинейного преобразования (с предварительной компенсацией деформаций и являются также оптимальными в смысле обеспечения минимальной ширины переходной полосы для заданных значений . С другой стороны, метод импульсной инвариантности будет нарушать оптимальность такого фильтра.

Характеристики эллиптического фильтра, который удовлетворяет требованиям предыдущих примеров, показаны на рис. 5.23. В этом случае параметрами аппроксимации частотной характеристики на рис. 5.22 являются: дБ. Если зафиксировать то это приведет к тому, что при дБ. Предварительно скорректировав критические частоты так, чтобы получим передаточную функцию аналогового фильтра

и, используя билинейное преобразование, получим передаточную функцию цифрового фильтра

Таким образом, видно, что для рассмотренного примера эллиптический фильтр обеспечивает самый низкий порядок фильтра, который удовлетворяет требованиям.