10.2. МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ ГОМОМОРФНЫЕ СИСТЕМЫ

Во многих задачах обработки сигналов сигнал может быть представлен в виде произведения двух или более компонент. Например, при передаче сигнала по каналу с федингами можно представить эффект замирания как умножение передаваемого сигнала на медленно меняющуюся компоненту. Другим примером является амплитудно-модулированный сигнал, представляющий собой произведение сигнала несущей частоты и огибающей, которая выделяется в приемнике. Имеются также примеры, связанные со сжатием динамического диапазона звуковых сигналов и обработкой изображений (см. § 10.3). Во многих задачах такого типа применение линейных систем для разделения или независимого изменения компонент сигнала неэффективно. В противоположность этому использование систем, удовлетворяющих обобщенному принципу суперпозиции относительно умножения, дает существенный эффект. В этом параграфе рассмотрим основы теории гомоморфных систем с операцией умножения, а в следующем — их применение к цифровой обработке изображений.

Рассмотрим класс гомоморфных систем, подчиняющихся обобщенному принципу суперпозиции, в которых операция является умножением, а операция — возведением в степень. Это значит, что нас будут интересовать сигналы вида

Легко проверить, что эти операции удовлетворяют аксиомам сложения векторов и умножения на скаляр. Характеристическая система для умножения должна обладать свойством

Функция, которая формально обладает этим свойством, является логарифмической функцией. Например, если где для всех то

Однако входной сигнал может быть не всегда положительным; действительно, можно рассматривать даже комплексные сигналы. В таких случаях нужно использовать комплексную логарифмическую функцию. Поэтому формальное представление канонических систем, у которых входной и выходной операцией является умножение, имеет вид, показанный на рис. 10.3, где последовательности в общем случае комплексны.

Рассмотрим свойства комплексной логарифмической функции. Если последовательность, то комплексный логарифм от запишется в виде

Обратной функцией по отношению к является комплексная экспонента

Ясно, что результат (10.10) не изменится, если прибавить целое число, умноженное на к мнимой части комплексного логарифма, т. е. к

Рис. 10.3. Каноническое представление гомоморфных систем с умножением в качестве входной и выходной операции

Поэтому комплексный логарифм является неоднозначной функцией. Так как основным требованием в определении системы является однозначность, то нужно выбрать так, чтобы не было неоднозначности. К тому же, следует так определить чтобы удовлетворялся обобщенный принцип суперпозиции, т. е. чтобы при выполнялось соотношение откуда следует

Таким образом, неоднозначность в должна быть устранена так, чтобы выполнялось условие (10.12).

Хотя общепринято устранять эту неоднозначность путем замены в комплексном логарифме на главное значение, т. е. на значение по модулю в данном случае этого нельзя сделать, так как условие (10.12) не будет выполняться в общем случае. В общем случае главное значение суммы двух углов не равно сумме их главных значений. Чтобы устранить неоднозначность: и выполнить условие (10.12), необходимо, чтобы был непрерывной функцией х. Для строгого обоснования такого подхода необходимо привлечь теорию римановых поверхностей. Не будем вдаваться в детали этого определения комплексного логарифма в этом параграфе, так как в рассматриваемых приложениях сигналы неотрицательны и неоднозначность отсутствует, поскольку всегда может быть выбран равным нулю. Однако эти соображения не подходят для § 10.4, где рассматриваются гомоморфные системы относительно свертки и именно в этом параграфе будут рассмотрены детали определения однозначного комплексного

логарифма. Поэтому здесь предположим, что имеется определение однозначного комплексного логарифма для реализации характеристической системы мультипликативных гомоморфных систем. Тогда каждая конкретная гомоморфная система этого класса отличается от другой системы этого же класса только своей линейной частью. Если вход системы определяется соотношением (10.6). то на выходе комплексного логарифма получим

где (10.14)

Наиболее общий вид линейной системы для обработки комплексных входных сигналов представлен на рис. 10.4, где обозначают действительные линейные системы. Если комплексные числа, то действительные линейные системы должны удовлетворять условиям

Если действительны, то такие ограничения не нужны.

Рис. 10.4. Общее представление линейной системы с комплексными входными и выходными сигналами

При применении теории мультипликативных систем следует соответствующим образом выбрать линейную систему. Наш выбор будет, конечно, зависеть от характера входного сигнала. Возможна или нет полезная обработка сигналов вида зависит от характера компонент на выходе характеристической системы. Например, если нужно разделить эти две компоненты или обработать их независимо, необходимо, чтобы их спектры не перекрывались в значительной степени. Это означает, что гомоморфная обработка мультипликативных сигналов может быть полезна тогда, когда одна компонента меняется быстро, а другая медленно. Это имеет место при сжатии динамического диапазона звуковых сигналов и при обработке изображений, где с успехом применяется гомоморфная фильтрация [3—6]. В следующем параграфе будет подробно рассмотрен последний пример.