3.1. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ДИСКРЕТНЫМ РЯДОМ ФУРЬЕ

Рассмотрим периодическую последовательность с периодом для любого целого значения Такие последовательности не могут быть представлены -преобразованием, так как не существует ни одного значения для которого бы сходилось -преобразование такой последовательности. Однако можно представить рядом Фурье, т. е. суммой синусоидальных и косинусоидальных последовательностей или, что то же, суммой комплексных экспоненциальных последовательностей с частотами, кратными основной частоте периодической последовательности. В противоположность рядам Фурье непрерывных периодических функций имеется только различных комплексных экспонент с периодом, равным целой части основного периода Это является следствием того, что комплексная экспонента

периодична по с периодом . Так, , следовательно, множество комплексных экспонент (3.1) с определяет все различные комплексные экспоненты с частотами, кратными Поэтому

представление периодической последовательности в виде ряда Фурье содержит только этих комплексных экспонент и, следовательно, имеет вид

Множитель введен для удобства и, конечно, не влияет на характер представления. Чтобы получить коэффициенты воспользуемся тем, что

Поэтому, умножая обе части (3.2) на и суммируя от до получим

или. меняя порядок суммирования в правой части этого выражения. получим

Учитывая (3.3),

Таким образом, коэффициенты в (3.2) получаются из соотношения

Отметим, что последовательность даваемая выражением (3.4), периодична с периодом Это, конечно, соответствует тому, что комплексные экспоненты (3.1) различны только при и поэтому может быть только различных коэффициентов в ряде Фурье периодической последовательности.

Коэффициенты ряда Фурье можно рассматривать как последовательность конечной длины, определяемую (3.4) для и равную нулю при других или как периодическую последовательность, определяемую для всех выражением (3.4). Ясно, что оба определения эквивалентны. Обычно более удобно рассматривать коэффициенты ряда Фурье как периодическую последовательность. В этом отношении существует дуальность между временной и частотной областями представления

периодических последовательностей рядами Фурье. Выражения (3.2) и (3.4) могут рассматриваться как пара преобразований и будут называться в дальнейшем представлением периодической последовательности дискретным рядом Фурье (ДРФ).

Для удобства записи введем обозначение Тогда ДРФ пары представляются в виде

где как так и — периодические последовательности.

Удобно интерпретировать как равноудаленные по углу выборки -преобразования одного периода взятые на единичной окружности. Чтобы получить это соотношение, положим, что представляет один период при —1 и при других (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Последовательность конечной длины равная периодической последовательности на протяжении одного периода и равная нулю в других точках

Тогда X(z), являющееся -преобразованием выражается формулой или так как вне промежутка —1, то

Сравнивая (3.5) и (3.7), мы видим, что связаны соотношением

Это соответствует взятию выборки -преобразования в равноудаленных по углу точках на единичной окружности, причем первая выборка берется при На рис. 3.2 показаны эти точки.

Пример. Как иллюстрацию представления периодической последовательности рядом Фурье рассмотрим последовательность изображенную на рис. 3.3. Из (3.5) имеем

Амплитуда и фаза периодической последовательности определяемой (3.9), показаны на рис. 3.4. Значение -преобразования одного периода на единичной окружности дается формулой

Рис. 3.2. Точки -плоскости, в которых -преобразоваиие одного периода периодической последовательности равно коэффициентам ряда Фурье

Рис. 3.3. Периодическая последовательность, для которой нужно вычислить ряд Фурье

В этом случае легко проверяется выполнение равенства (3.8). Амплитуда и фаза функции показаны на рис. 3.5. Важно отметить, что последовательности на рис. 3.4 а, б соответствуют выборкам функций на рис. 3.5 а, б.

Рис. 3.4. Модуль и фаза (б) коэффициентов ряда Фурье последовательности рис. 3.3

Рис. 3.5. Модуль и фаза -преобразования одного периода последовательности рис. 3.3, вычисленные в точках единичной окружности