Глава 1. Дискретные сигналы и системы
ВВЕДЕНИЕ
Сигнал может быть определен как функция, переносящая информацию о состоянии или поведении физической системы. Сигнал может принимать форму колебаний, зависящих от времени или от пространственных координат. Математически сигналы представляются в виде функций одной или более независимых переменных. Так, например, речевой сигнал математически представляется как функция времени, а изображение — как зависимость яркости от двух пространственных переменных. Обычно при математическом представлении сигнала независимой переменной считают время, и мы будем следовать этому в книге, хотя на самом деле эта переменная может иметь другой смысл.
Независимая переменная в математическом представлении сигнала может быть как непрерывной, так и дискретной. Сигналы в непрерывном времени определяются на континууме моментов времени и, следовательно, представляются как функции от непрерывной переменной. Дискретные сигналы (сигналы в дискретном, времени) определяются в дискретные моменты времени и представляются последовательностями чисел. Как мы увидим в дальнейшем, такие сигналы, как речь или изображение, могут быть представлены как с непрерывной, так и с дискретной независимой переменной, и если удовлетворяются определенные условия, эти представления полностью эквивалентны.
Вдобавок к тому, что независимые переменные могут быть непрерывными или дискретными, амплитуда сигнала также может быть как непрерывной, так и дискретной. Цифровые сигналы — это сигналы, у которых дискретны и время, и амплитуда. Сигналы в непрерывном времени и с непрерывным диапазоном амплитуд также называются аналоговыми сигналами.
Чтобы облегчить извлечение информации, сигналы должны подвергаться обработке. Поэтому весьма важно развитие техники, а также самих систем обработки сигналов. Техника обработки сигналов заключается в преобразовании сигнала в другой сигнал, являющийся более предпочтительным. Например, может понадобиться разделение двух или большего числа сигналов, которые ранее были объединены некоторым образом; выделение некоторой компоненты или параметра сигнала либо оценка одного или нескольких параметров сигнала.
Системы обработки сигналов могут классифицироваться точно так же, как и сами сигналы. Так, системы в непрерывном времени
— это системы, у которых на входе и выходе имеются сигналы в непрерывном времени, а дискретные системы (системы в дискретном времени) — это системы, у которых на входе и выходе дискретные сигналы. Точно так же аналоговые системы — это системы с аналоговыми сигналами на входе и выходе, а цифровые системы — системы с цифровыми сигналами на входе и выходе. В таком случае цифровая обработка сигналов имеет дело с преобразованиями сигналов, являющимися дискретными как по амплитуде, так и по времени. Эта глава и большая часть книги посвящены скорее дискретным, чем цифровым сигналам и системам. Эффекты, связанные с дискретизацией амплитуды, подробно рассматриваются в гл. 9.
Дискретные сигналы могут появляться при получении выборок из аналоговых сигналов или же они могут порождаться непосредственно некоторым дискретным во времени процессом. Вне зависимости от происхождения дискретных сигналов цифровые системы обработки таких сигналов обладают рядом полезных качеств. Они могут быть реализованы с большой гибкостью на универсальных цифровых вычислительных машинах или с помощью цифровой аппаратуры. При необходимости их можно использовать для моделирования аналоговых систем или, что более важно, для преобразований сигнала, которые невозможно осуществить на аналоговой аппаратуре. Поэтому, когда требуется сложная обработка сигналов, часто желательно представить их в цифровом виде.
В этой главе мы рассмотрим основные понятия, связанные с дискретными сигналами и системами обработки, вначале для одномерных, а затем для двумерных сигналов. Мы придадим особое значение классу линейных дискретных систем, инвариантных относительно сдвига. Из этой и последующих глав будет видно, что свойства этих систем и полученные нами результаты похожи, на свойства линейных инвариантных во времени аналоговых систем, рассмотренных в [1—3]. Действительно, последовательности можно трактовать как аналоговые импульсные сигналы. Такой подход может служить основой при описании систем, обрабатывающих выборочные сигналы (выборки) (см., например, [4—6]). Однако во многих современных применениях цифровой обработки сигналов не все последовательности получаются путем выборки из непрерывных во времени сигналов. Кроме того, многие дискретные системы не являются просто аппроксимациями соответствующих аналоговых систем. Поэтому мы не будем пытаться применить выводы, следующие из теории для аналоговых систем, а получим их непосредственно для дискретных систем, пользуясь соответствующей этому случаю терминологией и обозначениями. Дискретные сигналы будут соотноситься с аналоговыми сигналами только тогда, когда это будет необходимо.
