9.3.3. СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КВАНТОВАНИЯ ПРИ ПОСТРОЕНИИ ЦИФРОВЫХ БИХ-ФИЛЬТРОВ С ПЛАВАЮЩЕЙ ЗАПЯТОЙ

Из предыдущего ясно, что ограниченный динамический диапазон арифметического устройства с фиксированной запятой приводит к необходимости тщательного масштабирования входных сигналов и уровней промежуточных сигналов при построении цифрового фильтра с фиксированной запятой. Необходимость такого масштабирования может быть исключена при использовании арифметического устройства с плавающей запятой. Однако при этом вводится шум как за счет умножения, так и сложения [15—18]. Как было показано в § 9.1, если представляет результат применения операции округления к мантиссе

сигнала при плавающей запятой, то может быть выражено в виде

где при длине мантиссы в разрядов относительная ошибка удовлетворяет условию

Таким образом, в фильтре, выполненном с арифметическим устройством с плавающей запятой, эффект квантования можно представить в виде составляющей аддитивного шума (ошибки) Обратимся снова к фильтру первого порядка. На рис. 9.10 а представлена система первого порядка, для которой предполагается неограниченная точность арифметического устройства. Поэтому представляет собой точный выходной сигнал, соответствующий входному сигналу На рис. 9.10 б представлена система, в которой для учета округления мантиссы введены квантователи после умножения и сложения. В этом случае учитывает также выходной шум при входном сигнале На рис. квантователи заменены источниками аддитивного шума соответственно операции округления при плавающей запятой. Важно отметить, что если известны, то рис. оказывается эквивалентным рис. 9.10 в. Чтобы применить статистический анализ, необходимо сделать некоторые предположения относительно источников шума При первом рассмотрении эти предположения могут показаться трудно объяснимыми. Однако, как ранее подчеркивалось, здесь не делается попытки получить точный анализ. Тем не менее результаты, базирующиеся на модели, которую мы получим и будем использовать, подтвердились экспериментально.

Рис. 9.10. БИХ-системы первого порядка с плавающей запятой: а) идеальная линейная система; б) нелинейная модель; в) статистическая модель для шума округления

Предположим, что входной сигнал является случайным процессом, при котором входной и выходной сигналы фильтра могут описываться с помощью их средних значений. Для удобства предполагается, что имеет нулевое среднее значение. Заметим, что источники ошибок определяются выражениями

При отсутствии квантования и если ошибки невелики, то могут аппроксимироваться как

Следствие этой последней аппроксимации сводится к возможности представления аддитивного шума с помощью сигналов идеального фильтра без квантования. В дополнение к этой аппроксимации будем предполагать, как и ранее, что относительные ошибки являются: 1) белым шумом; 2) некоррелированными друг с другом; 3) некоррелированными с входным сигналом или любой узловой переменной системы; 4) равномерно распределенными по амплитуде в диапазоне [см. (9.8а)].

Поскольку является белым шумом и некоррелированна с то оказывается, что является белым шумом с дисперсией

или, так как предполагалось, что а следовательно, и имеют нулевое среднее, то

Аналогично является белым шумом с дисперсией

При обозначающими импульсные характеристики от источников входных шумов до выхода, а обозначающими составляющие ошибок в выходном сигнале за счет имеем Поскольку полагались некоррелированными, то и являются также некоррелированными, как и соответствующие выходные шумы Поэтому дисперсия выходного шума равна

Поскольку

то из следует, что

В конечном счете, поскольку полагаются имеющими равномерную плотность вероятности на интервале от до . Поэтому

или выходное отношение шум/сигнал равно

Интересно отметить, что отношение шум/сигнал, определяемое (9.55), для фильтра первого порядка было получено без учета конкретных спектральных свойств входного сигнала. Поэтому соотношение (9.55) применимо как для широкополосных входных сигналов типа белого шума, так и для узкополосных типа синусоид. Однако для фильтров более высоких порядков отношение шум/сигнал будет зависеть от формы входного сигнала.

Фильтр второго порядка может быть проанализирован аналогичным рассмотренному ранее способом. На рис. 9.11а показан идеальный фильтр второго порядка, а на рис. 9.11б — фильтр с источниками шума.

Рис. 9.11. БИХ-системы второго порядка с плавающей запятой: а) идеальная линейная система; б) статистическая модель для шума округления

Отметим, что поскольку источники шума должны вводиться путем суммирования, то важен порядок совместного суммирования продуктов квантования. На рис. 9.116 изображен случай, когда сначала суммируются результаты округления значений а затем входной сигнал добавляется к этой округленной сумме. Источники шума представляют шум за счет умножений, а источники шума — за счет сложений. С учетом предположений, аналогичных сделанным ранее, при которых не учитывались члены второго порядка, можно записать

Снова предполагается, что некоррелированны между собой и с и являются последовательностями белого шума с равномерными плотностями амплитуд. Поскольку являются белым шумом и

некоррелированны с следовательно, также с то оказывается, как и в случае фильтра первого порядка, что являются белым шумом. Дисперсии определяются выражениями

Поскольку каждый из четырех источников шума полагается некоррелированным, то дисперсия выходной шумовой последовательности равна сумме дисперсий каждого из этих источников шумов округления. Таким образом, дисперсия выходного шума равна

Из рис. 9.11 видно, что

и поэтому

Обозначив правую часть выражения (9.59) через получим Затем принимается во внимание тот факт, что

чтобы записать, что

Выражение (9.60) не может быть далее упрощено без введения каких-либо дополнительных предположений. Однако если предположить, что входной сигнал является белым шумом, то

Окончательно или поскольку то

С учетом этих результатов (9.60) можно переписать в виде

При большом усилении можно сравнить арифметические устройства с фиксированной и плавающей запятыми, используя аппроксимации выражений отношения шум/сигнал. При выражение (9.55) для фильтра первого порядка с арифметическим устройством с плавающей запятой может аппроксимироваться как

Аналогично для фильтра второго порядка при

Напомним, что для арифметического устройства с фиксированной запятой при входном сигнале в виде белого шума отношение шум/сигнал пропорционально 1/62, а при синусоидальном входном сигнале оно пропорционально 1/6. Сравнение (9.64) и (9.65) с (9.34) и (9.36) показывает значительно меньшее отношение шум/ /сигнал для арифметического устройства с плавающей запятой по сравнению со случаем фиксированной запятой при входном сигнале в виде белого шума. Важно помнить, что отношения шум/сигнал для фильтров с фиксированной запятой были вычислены с учетом того, что входной сигнал был максимально возможным. Если уровень входного сигнала уменьшается, то отношение шум/сигнал будет увеличиваться, так как дисперсия выходного шума не зависит от уровня входного сигнала. С другой стороны, для арифметического устройства с плавающей запятой дисперсия выходного шума пропорциональна дисперсии выходного сигнала и по мере того, как уровень входного сигнала изменяется в сторону увеличения или уменьшения, такие же изменения имеет и шум округления. Также важно отметить, что в проведенном сравнении предполагалось, что мантисса при плавающей запятой по длине равна целому слову при фиксированной запятой и не учитывает дополнительные разряды, необходимые для порядка числа.

Как и в случае фиксированной запятой, анализ систем более высоких порядков становится весьма сложным. Шум квантования зависит от параметров системы и ее структуры. В общем случае комментарии в конце § 9.3.2 применимы также к реализациям цифровых фильтров с плавающей запятой. Однако, поскольку при арифметическом устройстве с плавающей запятой, по существу, не возникает проблемы ограничения динамического

диапазона, каскадные реализации оказываются, вероятно, не слишком чувствительными к упорядочению размещения полюсов и нулей.