1.4. ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Во многих применениях играет важную роль один подкласс класса линейных инвариантных к сдвигу систем. Это подкласс состоит из систем, для которых вход и выход удовлетворяют линейному разностному уравнению порядка с постоянными коэффициентами вида

В общем случае системы этого класса не обязательно должны быть физически реализуемыми. Например, рассмотрим разностное уравнение.первого порядка

Легко проверить прямой подстановкой, что при уравнению удовлетворяют как так и Первое решение соответствует физически реализуемому и при устойчивому фильтру. Второе решение физически нереализуемо и устойчиво только при Общепринято полагать, что такое разностное уравнение, как (1.10), характеризует физически реализуемую систему, и мы будем

придерживаться этого положения, если только не будет оговорено противоположное.

Без добавочной информации разностное уравнение вида (1.10) неоднозначно определяет соотношение между входом и выходом системы. Это является следствием того, что разностным уравнениям, как и дифференциальным, удовлетворяет целое семейство решений. Например, если разностному уравнению (1.11) удовлетворяет при то ему также удовлетворяет решение вида где — произвольная постоянная. В общем случае к любому решению (1.10) можно прибавить составляющую, удовлетворяющую однородному разностному уравнению (т. е. уравнению, у которого правая часть равна нулю), и эта сумма также будет удовлетворять (1.10).

Система, удовлетворяющая линейному разностному уравнению с постоянными коэффициентами, будет инвариантна к сдвигу только тогда, когда мы соответствующим образом выберем однородную составляющую. Если, например, система физически реализуема, мы должны выбрать начальные условия так, чтобы если при то и при Мы будем полагать, что если система удовлетворяет линейному разностному уравнению с постоянными коэффициентами, то она также удовлетворяет всем необходимым для инвариантности к сдвигу условиям до тех пор, пока не оговорено противоположное.

Если мы предположим, что система физически реализуема, то тогда линейное разностное уравнение дает явное соотношение между входом и выходом. Это соотношение можно получить, переписывая (1.10) в виде

Таким образом, значение выхода можно вычислить, зная значение входа и соответственно прошлых значений выхода и входа. Как и в случае свертки, разностное уравнение не только дает теоретическое описание системы, но может быть также основой для реализации системы.

Пример. Разностное уравнение первого порядка (1.11) дает рекуррентную формулу Чтобы получить импульсную характеристику, положим при нулевых начальных условиях. Тогда

Таким образом,

Чтобы получить другое решение, положим при Из (1.11) можно записать рекуррентное соотношение или Тогда

Таким образом,

В общем случае линейная система, инвариантная к сдвигу, может иметь импульсную характеристику как конечной, так и бесконечной длительности. В силу определенных свойств цифровой обработки сигналов полезно различать эти два случая. Будем называть системы, с конечной импульсной характеристикой коротко КИХ-системами, а системы с бесконечной импульсной характеристикой— БИХ-системами. Если в (1.10) доложить так что

тогда оно соответствует КИХ-системе. Действительно, сравнение с (1.8) показывает, что это разностное уравнение совпадает со сверткой и, следовательно,

Система с конечной импульсной характеристикой всегда может быть описана разностным уравнением вида (1.10) с . В противоположность этому для БИХ-системы должно быть больше нуля.