5.1.1. ИНВАРИАНТНОСТЬ ИМПУЛЬСНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Одна из процедур преобразования данных расчета аналогового фильтра для расчета цифрового фильтра соответствует выбору в качестве импульсной характеристики цифрового фильтра равномерно распределенных отсчетов импульсной характеристики аналогового фильтра [1, 4]. Иначе говоря, где Т — период дискретизации.

Как обобщение (1.29), можно показать, что -преобразование от связано с преобразованием Лапласа от соотношением

Из соотношения видно, что полосы шириной -плоскости отображаются в целую -плоскость, как показано на рис. 5.2. Левая половина каждой полосы -плоскости отображается

во внутреннюю область единичного круга, а правая половина — во внешнюю область. Мнимая ось -плоскости отображается в единичную окружность таким путем, что каждый отрезок длиной укладывается один раз на единичной окружности.

Рис. 5.2. Представление периодической дискретизации

Из (5.7) ясно, что каждая горизонтальная полоса из -плоскости переносится на -плоскость для формирования цифровой передаточной функции из аналоговой передаточной функции. Таким образом, метод импульсной инвариантности не соответствует простому алгебраическому отображению -плоскости на -плоскость.

Частотная характеристика цифрового фильтра связана с частотной характеристикой аналогового фильтра соотношением

Из рассмотрения теоремы дискретизации (§ 1.7) очевидно, что если и только если то . К сожалению, любой практический аналоговый фильтр не будет обладать резко ограниченной полосой, и, следовательно, имеет место явление наложения между последовательными членами в (5.8), как показано на рис. 5.3.

Рис. 5.3. Графическое представление эффектов наложения при расчете фильтра методом инвариантности импульсной характеристики

Из-за явления наложения, которое возникает в процессе дискретизации, частотная характеристика результирующего цифрового фильтра не будет идентична исходной аналоговой частотной характеристике.

Важно отметить, что если рассматриваемые при расчете требования должны быть выражены через требования для цифрового фильтра, то изменение в величине Т не оказывает влияния на степень наложения при процедуре расчета на основе инвариантности импульсной характеристики. Например, обращаясь к рис. 5.3, можно считать, что частота среза рассчитываемого цифрового фильтра

должна быть на частоте, отмеченной Такая точка в частотной характеристике затем ограничивается как частота среза цифрового фильтра нижних частот, и если Т уменьшается, то в аналоговом фильтре должна быть соответственно увеличена так, чтобы оставалась постоянной и равной частоте среза, определенной для цифрового фильтра. Таким образом, если Т уменьшается с целью снижения эффекта наложения, то должна быть соответственно увеличена. При таком подходе, если рассчитываемый цифровой фильтр определяется с помощью частот единичной окружности, то при методе импульсной инвариантности параметр Т оказывается независимым параметром и может быть принят равным единице. Несмотря на то что при использовании метода импульсной инвариантности на практике принято учитывать параметр Т, следует помнить, что этот параметр играет второстепенную роль в процедуре расчета.

Чтобы исследовать интерпретацию метода расчета на основе импульсной инвариантности с помощью соотношения между и z-плоскостями, рассмотрим передаточную функцию аналогового-фильтра, представленную в виде разложения на простые дроби так, что

Соответствующая импульсная характеристика имеет вид — аналоговая функция единичного скачка. Тогда импульсная характеристика цифрового фильтра равна

Передаточная функция цифрового фильтра поэтому определяется выражением

При сравнении (5.9) и (5.10) замечаем, что полюс в точке из -плоскости преобразуется в полюс в точке на -плоскости, а коэффициенты в разложении на простые дроби равны. Если аналоговый фильтр является устойчивым (соответственно чему действительная часть меньше нуля), то величина будет меньше единицы, так что соответствующий полюс в цифровом фильтре находится внутри единичного круга и, следовательно, цифровой фильтр является также устойчивым. Несмотря на то что полюсы -плоскости отображаются в полюсы z-плоскости в соответствии с соотношением важно отметить, что процедура на основе инвариантности импульсной характеристики не полностью соответствует отображению -плоскости на -плоскость

согласно такому или фактически любому другому соотношению. В частности, нули цифровой передаточной функции являются функцией полюсов и коэффициентов в разложении на простые дроби, и они в общем случае не будут отображаться таким же образом, как отображались полюсы.

Пример. В качестве примера определения цифрового фильтра из аналогового фильтра на основе инвариантности импульсной характеристики рассмотрим аналоговую передаточную функцию заданную в виде Соответствующая передаточная функция цифрового фильтра, полученного методом импульсной инвариантности, равна

Цифровой фильтр, следовательно, имеет один нуль в начале координат и нуль в точке

На рис. 5.4 показано расположение полюсов и нулей для в -плоскости и для в -пло-скости совместно с аналоговой и цифровой частотными характеристиками. В данном случае частотная характеристика аналоговой системы спадает довольно медленно по отношению к частоте дискретизации, и поэтому эффекты наложения в цифровой частотной характеристике становятся очевидными.

Рис. 5.4. Расположение полюсов и нулей и частотная характеристика: а) аналоговой системы второго порядка; б) дискретной системы, полученной путем дискретизации импульсной характеристики вышеуказанной системы

Необходимо отметить, что когда аналоговый фильтр является «достаточно ограниченным по полосе», то вышеприведенная процедура дает цифровой фильтр, частотная характеристика которого на основании (5.8) имеет вид

Таким образом, при высоких частотах дискретизации (малом Т) цифровой, фильтр может иметь чрезвычайно большое усиление. По этой причине в общем случае вместо (5.10) целесообразно использовать выражение вида

Это означает, что импульсной характеристикой является

Основой для метода импульсной инвариантности, как было указано выше, является выбор импульсной характеристики для цифрового фильтра, которая будет подобной в некотором смысле импульсной характеристике аналогового фильтра. Использование этой процедуры часто мотивируется не столько желанием сохранить форму импульсной характеристики, сколько знанием того факта, что если аналоговый фильтр является ограниченным по полосе частот, то частотная характеристика цифрового фильтра будет точно аппроксимировать аналоговую частотную характеристику. Тем не менее в некоторых случаях расчета фильтров основной задачей может оказаться создание некоторых свойств отклика, таких, как импульсная характеристика или реакция на единичный скачок. В подобных случаях естественный подход должен быть связан с расчетом цифрового фильтра на основе импульсной инвариантности или процедуры, инвариантности к скачку. В последнем случае в качестве отклика цифрового фильтра на дискретизованную функцию единичного скачка принимаются отсчеты отклика аналогового фильтра на единичный скачок. Если аналоговый фильтр обладает хорошими параметрами переходной характеристики, такими, как малое время нарастания и небольшой выброс, то эти параметры должны быть сохранены в цифровом фильтре. Очевидно, эта концепция инвариантности формы сигнала может быть распространена на случаи сохранения формы выходного сигнала для многих входных сигналов.

Хотя в процедуре расчета на основе импульсной инвариантности вводятся искажения в частотную характеристику из-за эффекта наложения, соотношение между аналоговыми и цифровыми частотами является линейным и, следовательно, за исключением эффекта наложения, форма частотной характеристики сохраняется. Это отличает изложенное от процедур, подлежащих дальнейшему рассмотрению, в которых используются алгебраические преобразования. Необходимо еще отметить, что методы импульсной инвариантности оказываются подходящими только в случае фильтров, существенно ограниченных по полосе частот. Например, фильтры высоких частот или режекторные фильтры потребовали бы дополнительного ограничения полосы частот для того, чтобы избежать сильных искажений из-за эффекта наложения.