Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 2.4. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯВ гл. 1 рассмотрено описание линейных инвариантных к сдвигу систем с помощью преобразования Фурье импульсной характеристики. Как видно, преобразование Фурье импульсной характеристики является частотной характеристикой системы. Кроме того, в частотной области соотношение между входным и выходным сигналами получается просто умножением преобразования Фурье входного сигнала на преобразование Фурье импульсной характеристики. Более общим образом можно описать линейные инвариантные к сдвигу системы с помощью z-преобразования импульсной характеристики. Обозначая
Как и в случае преобразования Фурье, соотношение между входом и выходом для линейных инвариантных к сдвигу систем получается умножением Часто В гл. 1 показано, что необходимым и достаточным условием устойчивости системы является абсолютная суммируемость импульсной характеристики Если систему можно описать линейным разностным уравнением с постоянными коэффициентами, то ее передаточная функция является отношением полиномов. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим систему, вход и выход которой удовлетворяют общему разностному уравнению
Применяя z-преобразование к обеим частям (2.53), получим
Обозначая
Из (2.52) имеем
Эта формула дает конкретное выражение для передаточной функции, и коэффициенты полиномов в числителе и знаменателе являются соответственно коэффициентами в правой и левой частях разностного уравнения (2.53). Так как выражение (2.54) есть отношение полиномов от
Каждый из сомножителей Соотношение (2.54) не содержит указаний об области сходимости передаточной функции. Это находится в соответствии с тем фактом, что, как видно из первой главы, разностное уравнение неоднозначно определяет импульсную характеристику линейной инвариантной к сдвигу системы. Для передаточной функции (2.54) имеется ряд способов выбора области сходимости в соответствии с требованиями, чтобы она была кольцевой, ограниченной полюсами, но не содержащей их. Для данного отношения полиномов различные способы выбора области сходимости приведут к различным импульсным характеристикам, но они все будут удовлетворять одному и тому же разностному уравнению. Если предположим, что система устойчива, то нужно выбрать кольцевую область, включающую единичную окружность. Если предположим, что система физически реализуема, то в качестве области сходимости нужно выбрать внешность окружности, проходящей через самый дальний полюс окружность, чтобы было видно расположение полюсов относительно этой окружности. Пример. В качестве простого примера рассмотрим физически реализуемую систему, описываемую разностным уравнением
и в силу предположения о физической реализуемости область сходимости определяется неравенством В частном случае, когда Одним из преимуществ представления передаточной функции посредством ее полюсов и нулей является то, что оно дает полезный геометрический способ получения частотной характеристики системы. Вспомним, что отклик системы на синусоидальное возбуждение описывается частотной характеристикой, т. е. поведением передаточной функции на единичной окружности. В частности, отклик на выходе является синусоидальным с той же частотой, что и на входе, а амплитуда на выходе равна амплитуде на входе, умноженной на модуль передаточной функции на частоте возбуждения. Фазовый сдвиг выхода относительно входа равен аргументу передаточной функции на частоте возбуждения. Чтобы определить передаточную функцию на единичной окружности на частоте
Рис. 2.7. Геометрический способ определения частотной характеристики по диаграмме полюсов и нулей
Рис. 2.8. Геометрическое определение частотной характеристики системы второго порядка При до зтой же точки единичной окружности. Аргумент этого комплексного числа равен аргументу вектора, выходящего из нуля, минус аргумент вектора, выходящего из полюса. Модуль комплексного числа, представленного произведением таких сомножителей, равен произведению модулей сомножителей, а аргумент — сумме аргументов сомножителей. Полная частотная характеристика получается как результирующий эффект от векторов, соответствующих всем нулям и полюсам. В качестве примера на рис. 2.8 показана диаграмма нулей и полюсов для системы второго порядка. Из картины изменения векторов, соответствующих нулям и полюсам, ясно, что пики частотной характеристики получаются вблизи полюсов.
Рис. 2.9. Диаграмма полюсов и нулей Из этой геометрической картины должно быть понятно, что полюса и нули в начале координат не влияют на модуль частотной характеристики и вводят только линейную компоненту в фазу. Эти понятия иллюстрируются рис. 2.9, на котором показаны диаграмма полюсов и нулей и частотная характеристика для разностного уравнения первого порядка, соответствующего передаточной функции В качестве второго примера рассмотрим случай, когда импульсная характеристика системы является усеченной импульсной характеристикой предыдущего примера, т. е.
Тогда передаточная функция равна
или точке. Диаграмма полюсов и нулей и соответствующая частотная характеристика для случая
Рис. 2.10. Диаграмма полюсов и нулей
|
1 |
Оглавление
|