2.4. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ

В гл. 1 рассмотрено описание линейных инвариантных к сдвигу систем с помощью преобразования Фурье импульсной характеристики. Как видно, преобразование Фурье импульсной характеристики является частотной характеристикой системы. Кроме того, в частотной области соотношение между входным и выходным сигналами получается просто умножением преобразования Фурье входного сигнала на преобразование Фурье импульсной характеристики.

Более общим образом можно описать линейные инвариантные к сдвигу системы с помощью z-преобразования импульсной характеристики. Обозначая вход, выход и импульсную характеристику соответственно и их -преобразования и используя результаты предыдущего раздела, получим из соотношение

Как и в случае преобразования Фурье, соотношение между входом и выходом для линейных инвариантных к сдвигу систем получается умножением -преобразований входного сигнала и импульсной характеристики.

Часто -преобразование импульсной характеристики называется передаточной или системной функцией. Передаточная функция на единичной окружности (т. е. при является частотной характеристикой системы.

В гл. 1 показано, что необходимым и достаточным условием устойчивости системы является абсолютная суммируемость импульсной характеристики Область сходимости -преобразования определяется теми значениями при которых — абсолютно суммируемая последовательность. Поэтому, если область сходимости передаточной функции включает единичную окружность, система устойчива и наоборот. Кроме того, мы можем утверждать, что для устойчивой и физически реализуемой системы область сходимости будет включать единичную окружность и всю -плоскость вне единичной окружности, включая

Если систему можно описать линейным разностным уравнением с постоянными коэффициентами, то ее передаточная функция является отношением полиномов. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим систему, вход и выход которой удовлетворяют общему разностному уравнению порядка

Применяя z-преобразование к обеим частям (2.53), получим а с учетом свойства 3 табл. 2.1

Обозначая и -преобразования соответственно и учитывая свойство последовательности 4 табл. 2.1, получим Поэтому

Из (2.52) имеем поэтому

Эта формула дает конкретное выражение для передаточной функции, и коэффициенты полиномов в числителе и знаменателе являются соответственно коэффициентами в правой и левой частях разностного уравнения (2.53).

Так как выражение (2.54) есть отношение полиномов от то его можно записать в виде

Каждый из сомножителей в числителе (2.55) дает нуль при и полюс при Аналогично каждый сомножитель вида в знаменателе дает полюс при и нуль в начале координат. То, что передаточная функция системы равна отношению полиномов от является характерной чертой систем, описываемых линейными разностными уравнениями с постоянными коэффициентами. Следовательно, с точностью до скалярного множителя А в (2.55) передаточная функция может быть полностью описана картиной полюсов и нулей в -плоскости.

Соотношение (2.54) не содержит указаний об области сходимости передаточной функции. Это находится в соответствии с тем фактом, что, как видно из первой главы, разностное уравнение неоднозначно определяет импульсную характеристику линейной инвариантной к сдвигу системы. Для передаточной функции (2.54) имеется ряд способов выбора области сходимости в соответствии с требованиями, чтобы она была кольцевой, ограниченной полюсами, но не содержащей их. Для данного отношения полиномов различные способы выбора области сходимости приведут к различным импульсным характеристикам, но они все будут удовлетворять одному и тому же разностному уравнению. Если предположим, что система устойчива, то нужно выбрать кольцевую область, включающую единичную окружность. Если предположим, что система физически реализуема, то в качестве области сходимости нужно выбрать внешность окружности, проходящей через самый дальний полюс Если система к тому же устойчива, то тогда, конечно, все полюсы лежат внутри единичного круга и область сходимости будет содержать единичную окружность. По этой причине при описании передаточной функции диаграммой полюсов и нулей в 2-плоскости удобно изображать также единичную

окружность, чтобы было видно расположение полюсов относительно этой окружности.

Пример. В качестве простого примера рассмотрим физически реализуемую систему, описываемую разностным уравнением Передаточная функция равна

и в силу предположения о физической реализуемости область сходимости определяется неравенством откуда следует, что импульсная характеристика равна

В частном случае, когда в (2.54) или (2.55), система не имеет полюсов, за исключением точки и ее импульсная характеристика имеет конечную длительность. При система имеет полюсы, каждый из которых прибавляет экспоненциальную последовательность к импульсной характеристике. Таким образом, если передаточная функция имеет полюсы, то импульсная характеристика имеет бесконечную протяженность.

Одним из преимуществ представления передаточной функции посредством ее полюсов и нулей является то, что оно дает полезный геометрический способ получения частотной характеристики системы. Вспомним, что отклик системы на синусоидальное возбуждение описывается частотной характеристикой, т. е. поведением передаточной функции на единичной окружности. В частности, отклик на выходе является синусоидальным с той же частотой, что и на входе, а амплитуда на выходе равна амплитуде на входе, умноженной на модуль передаточной функции на частоте возбуждения. Фазовый сдвиг выхода относительно входа равен аргументу передаточной функции на частоте возбуждения.

Чтобы определить передаточную функцию на единичной окружности на частоте нужно подставить в (2.55). Рассмотрим, например, множитель который дает нуль и полюс, как это обозначено на рис. 2.7.

Рис. 2.7. Геометрический способ определения частотной характеристики по диаграмме полюсов и нулей

Рис. 2.8. Геометрическое определение частотной характеристики системы второго порядка

При модуль комплексного числа, представляемого этим коэффициентом, равен длине вектора, выходящего из нуля в соответствующую точку единичной окружности, поделенной на длину вектора, выходящего от полюса

до зтой же точки единичной окружности. Аргумент этого комплексного числа равен аргументу вектора, выходящего из нуля, минус аргумент вектора, выходящего из полюса. Модуль комплексного числа, представленного произведением таких сомножителей, равен произведению модулей сомножителей, а аргумент — сумме аргументов сомножителей.

Полная частотная характеристика получается как результирующий эффект от векторов, соответствующих всем нулям и полюсам. В качестве примера на рис. 2.8 показана диаграмма нулей и полюсов для системы второго порядка. Из картины изменения векторов, соответствующих нулям и полюсам, ясно, что пики частотной характеристики получаются вблизи полюсов.

Рис. 2.9. Диаграмма полюсов и нулей фильтра первого порядка и соответствующие частотные характеристики (б)

Из этой геометрической картины должно быть понятно, что полюса и нули в начале координат не влияют на модуль частотной характеристики и вводят только линейную компоненту в фазу. Эти понятия иллюстрируются рис. 2.9, на котором показаны диаграмма полюсов и нулей и частотная характеристика для разностного уравнения первого порядка, соответствующего передаточной функции и импульсной характеристике

В качестве второго примера рассмотрим случай, когда импульсная характеристика системы является усеченной импульсной характеристикой предыдущего примера, т. е.

в остальных случаях.

Тогда передаточная функция равна

или Так как числитель имеет нули при где а считается положительным числом, то полюс при компенсируется нулем в той же

точке. Диаграмма полюсов и нулей и соответствующая частотная характеристика для случая показана на рис. 2.10. Заметим наличие пика при где нет нулей, и провалов в частотной характеристике в окрестности каждого нуля. Эти свойства частотной характеристики легко выводятся геометрически из диаграммы полюсов и нулей.

Рис. 2.10. Диаграмма полюсов и нулей и частотные характеристики КИХ-системы, импульсная характеристика которой является усеченной импульсной характеристикой для примера рис. 2.9(б}