Интегрирование уравнений движения приведет нас к некоторым дальнейшим заключениям о характере колебаний.

Мы преобразуем сначала эти уравнения к системе уравнений первого порядка. Пусть $R$ — измененный кинетический потенциал системы, который в нашей задаче является однородной квадратичной функцией величин $q_1,q_2,\dots ,q_n,{\dot{q}}_1,{\dot{q}}_2,\dots ,{\dot{q}}_n$. Мы полагаем
$$\frac{\partial R}{\partial {\dot{q}}_r}=q_{n+r}(r=1,2,\dots ,n),$$

так что $q_{n+1},q_{n+2},\dots ,q_{2n}$ являются линейными функциями величин ${\dot{q}}_1,{\dot{q}}_2,\dots ,{\dot{q}}_n$, и наоборот. Уравнения движения принимают вид:
$${\dot{q}}_{n+r}=\frac{\partial R}{\partial q_r}(r=1,2,\dots ,n).$$

Если $\delta$ означает приращение некоторой функции переменных $q_1$, $q_2,\dots ,q_n,q_{n+1},\dots ,q_{2n}$ при бесконечно малом изменении этих переменных, то
$$\begin{array}{rl}\delta R& =\sum _{r=1}^n(\frac{\partial R}{\partial q_r}\delta q_r+\frac{\partial R}{\partial {\dot{q}}_r}\delta {\dot{q}}_r)=\sum _{r=1}^n({\dot{q}}_{n+r}\delta q_r+q_{n+r}\delta {\dot{q}}_r)=\\ & =\delta \left(\sum _{r=1}^n{q}_{n+r}{\dot{q}}_r\right)+\sum _{r=1}^n({\dot{q}}_{n+r}\delta q_r-{\dot{q}}_r\delta q_{n+r}).\end{array}$$

Пусть $H$ означает величину
$$\sum _{r=1}^n{q}_{n+r}{\dot{q}}_r-R$$

рассматриваемую как функция величин $q_1,q_2,\dots ,q_{2n}$. $H$ есть, следовательно, известная однородная квадратичная функция переменных $q_1,q_2,\dots ,q_{2n}$. Последнее уравнение принимает тогда вид:
$$\delta H=\sum _{r=1}^n({\dot{q}}_r\delta q_{n+r}-{\dot{q}}_{n+r}\delta q_r).$$
${}^1$ То есть система не может быть приведена к нормальным координатам при помощи точечного преобразования. Но это, однако, может быть выполнено при помощи контактного преобразования, о чем будет подробней указано в гл. XVI.

Следовательно, система уравнений движения, являющаяся системой второго порядка, может быть заменена системой из $2n$ уравнений первого порядка
$${\dot{q}}_r=\frac{\partial H}{\partial q_{n+r}},{\dot{q}}_{n+r}=-\frac{\partial H}{\partial q_r}$$

с независимыми переменными $q_1,q_2,\dots ,q_{2n}{}^1$.
Покажем, что функция $H$, входящая в уравнения движения вместо характеристической функции $R$, есть сумма кинетической и потенциальной энергий рассматриваемой динамической системы.

В самом деле, $R$ содержит члены второго, первого и нулевого порядков относительно скоростей, а
$$\sum _{r=1}^n{\dot{q}}_r\frac{\partial R}{\partial {\dot{q}}_r}$$

согласно теореме Эйлера равна сумме удвоенных членов второго порядка и членов первого порядка. Следовательно, функция $H$, равная согласно определению функции
$$\sum _{r=1}^n{\dot{q}}_r\frac{\partial R}{\partial {\dot{q}}_r}-R,$$

равна сумме членов второго порядка и взятых с обратными знаками членов первого порядка функции $R$. Сравнивая с данными на страницах 257 и 259 выражениями для $T$ и $V$, получаем:
$$H=T+V\text{. }$$

Таким образом, $Н$ есть полная энергия динамической системы, рассматриваемая как функция переменных $q_1,q_2,\dots ,q_{2n}$.

При колебаниях около положения равновесия условие устойчивости заключается в том, что потенциальная энергия, так же как и кинетическая, представляет собой определенную положительную форму. Мы делаем теперь аналогичное предположение и в рассматриваемом нами случае колебаний около стационарного состояния движения. Именно, мы предположим, что полная энергия $H$ есть определенная положительная квадратичная форма переменных $q_1,q_2,\dots ,q_{2n}$. Докажем, что при этом условии стационарное движение устойчиво и уравнения движения могут быть проинтегрированы следующим способом².
${}^1$ Это преобразование является частным случаем преобразования Гамильтона, рассматриваемого в гл. X.
${}^2$ Этот способ интегрирования принадлежит Вейерштрассу (Berl. Monats berichte, 1879).

Рассмотрим систему линейных уравнений:
$$\begin{array}{rl}s{q}_{n+r}+\frac{\partial H(q_1,q_2,\dots ,q_{2n})}{\partial q_r}& =y_r,\\ -s{q}_r+\frac{\partial H(q_1,q_2,\dots ,q_{2n})}{\partial q_{n+r}}& =y_{n+r}(r=1,2,\dots ,n)\end{array}$$

с переменными $q_1,q_2,\dots ,q_{2n}$. Если $f(s)$ означает определитель системы, а
$$f(s{)}_{\lambda \mu }(\lambda ,\mu =1,2,\dots ,2n)$$
— минор, соответствующий $\lambda$-й горизонтали и $\mu$-й вертикали, то выражения величин $q_1,q_2,\dots ,q_{2n}$ через $y_1,y_2,\dots ,y_{2n}$ даются уравнениями:
$$q_{\mu }=\sum _{\lambda =1}^{2n}\frac{f(s{)}_{\lambda \mu }}{f(s)}{y}_{\lambda }(\mu =1,2,\dots ,2n).$$

Порядок $f(s)$ относительно $s$ равен $2n$, а порядок $f(s{)}_{\lambda \mu }$ не выше чем $2n-1$.

Для интегрирования уравнений движения рассмотрим выражения для $q_1,q_2,\dots ,q_{2n}$ вида:
$$q_{\mu }={\int }_{(C)}\frac{p_{\mu }(s)}{f(s)}{e}^{s(t-t_0)}ds(\mu =1,2,\dots ,2n),$$

где интегрирование распространено на окружность $C$ достаточно большого радиуса, внутри которой заключены все корни уравнения $f(s)=0$. Эти значения $q_1,q_2,\dots ,q_{2n}$ удовлетворяют уравнениям движения, если выполняются уравнения:
$$\begin{array}{l}{\int }_C{e}^{s(t-t_0)}\{s{p}_{n+r}+\frac{\partial H(p_1,p_2,\dots ,p_{2n})}{\partial p_r}\}\frac{ds}{f(s)}=0,\\ {\int }_C{e}^{s(t-t_0)}\{-s{p}_r+\frac{\partial H(p_1,p_2,\dots ,p_{2n})}{\partial p_{n+r}}\}\frac{ds}{f(s)}=0\end{array}\}(r=1,2,\dots ,n).$$

Если поэтому $p_1,p_2,\dots ,p_{2n}$ означают такие полиномы относительно $s$, которые обращают в нуль выражения, стоящие в скобках подынтегральных выражений, для всех нулевых значений функции $f(s)$, то уравнения будут удовлетворены, так как при этих условиях подынтегральные функции не будут иметь внутри круга $C$ никаких особых точек ${}^1$.
${}^1$ См. Уиттекер и Ватсон, Курс современного анализа, $\mathrm{\S }5,2$.

Следовательно, $p_1,p_2,\dots ,p_{2n}$ должны быть решениями уравнений:
$$\begin{array}{c}s{p}_{n+r}+\frac{\partial H(p_1,p_2,\dots ,p_{2n})}{\partial p_r}=0,\\ -s{p}_r+\frac{\partial H(p_1,p_2,\dots ,p_{2n})}{\partial p_{n+r}}=0\end{array}\}(r=1,2,\dots ,n).$$

при $s$, равном одному из корней уравнения $f(s)=0$. Последнее условие будет удовлетворено, если положить
$$p_{\mu }(s)=a_{1}f(s{)}_{1\mu }+a_{2}f(s{)}_{2\mu }+\dots +a_{2n}f(s{)}_{2n,\mu }(\mu =1,2,\dots ,2n),$$

где $a_1,a_2,\dots ,a_{2n}$ — произвольные постоянные. Уравнения движения удовлетворяются, следовательно, значениями:
$$\begin{array}{c}{q}_{\mu }=\text{ коэффициенту при }\frac{1}{s}\text{ в разложении }{}^1\text{ Лорана выражения }\\ \{a_{1}f(s{)}_{1\mu }+a_{2}f(s{)}_{2\mu }+\dots +a_{2n}f(s{)}_{2n,\mu }\}\frac{e^{s(t-t_0)}}{f(s)}(\mu =1,2,\dots ,2n)\end{array}$$

по положительным и отрицательным степеням $s$.
Исследование определителя $f(s)$ показывает, что порядок относительно $s$ его миноров типа
$$f(s{)}_{n+\mu ,\mu }\text{ и }f(s{)}_{\mu ,n+\mu }$$

равен $2n-1$, а порядок всех остальных миноров равен $2n-2$. Поэтому коэффициенты при $\frac{1}{s}$ в разложениях Лорана выражений $\frac{f(s{)}_{\lambda \mu }}{f(s)}$, за исключением тех случаев, когда $\lambda =n+\mu$ или когда $\mu =n+\lambda$ равны нулю. При $\lambda =n+\mu$ эти коэффициенты равны -1 , а при $\mu =n+\lambda$ они равны +1 .
Полагая $t=t_0$, находим, что все величины
$$a_1,a_2,\dots ,a_{2n}$$

представляют собой значения величин
$$q_{n+1},q_{n+2},\dots ,q_{2n},-q_1,-q_2,\dots ,-q_n$$

в момент времени $t$.
Полагая поэтому $\phi (t{)}_{\lambda \mu }=$ коэффициенту при $\frac{1}{s}$ в разложении Лорана функции $\frac{f(s{)}_{\lambda \mu }}{f(s)}{e}^{s(t-t_0)}$ и обозначая через $q_1^0,q_2^0,\dots ,q_{2n}^0$ значения величин $q_1,q_2,\dots ,q_{2n}$, соответствующие значению $t_0$ времени $t$ находим:
$$q_{\mu }=\sum _{\alpha =1}^n\{q_{n+\alpha }^0\phi (t{)}_{\alpha \mu }-q_{\alpha }^0\phi (t{)}_{n+\alpha ,\mu }\}(\mu =1,2,\dots ,2n).$$
${}^1$ См. Уиттекер и Ватсон. Курс современного анализа, § 5,6.

Для вычисления величин $\phi (t{)}_{\lambda \mu }$ необходимо исследовать более подробно корни детерминантного уравнения $f(s)=0$. Пусть $ki+l$, где $i=\sqrt{-1}$, а $k$ и $l$ являются действительными числами, есть любой корень этого уравнения. Тогда $2n$ уравнений
$$\begin{array}{c}(ki+l)q_{n+\alpha }+\frac{\partial H(q_1,q_2,\dots ,q_{2n})}{\partial q_{\alpha }}=0,\\ -(ki+l)q_{\alpha }+\frac{\partial H(q_1,q_2,\dots ,q_{2n})}{\partial q_{n+\alpha }}=0\end{array}\}(\alpha =1,2,\dots ,n)$$

могут быть удовлетворены системой значений величин $q_1,q_2,\dots ,q_{2n}$, из которых по крайней мере одна отлична от нуля. Пусть
$${\xi }_1+i{\eta }_1,{\xi }_2+i{\eta }_2,\dots ,{\xi }_{2n}+i{\eta }_{2n},$$

где ${\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_{2n},{\eta }_1,{\eta }_2,\dots ,{\eta }_{2n}$ — действительные величины, и будет такого рода системой значений. Полагая
$$\frac{\partial H(q_1,q_2,\dots ,q_{2n})}{\partial q_{\mu }}=H{(q_1,q_2,\dots ,q_{2n})}_{\mu }$$

и разделяя действительные и мнимые части, из последних уравнений получим:
$$\begin{array}{r}H{({\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_{2n})}_{\alpha }+l{\xi }_{n+\alpha }-k{\eta }_{n+\alpha }=0\\ H{({\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_{2n})}_{n+\alpha }-l{\xi }_{\alpha }+k{\eta }_{\alpha }=0\\ H{({\eta }_1,{\eta }_2,\dots ,{\eta }_{2n})}_{\alpha }+l{\eta }_{n+\alpha }+k{\xi }_{n+\alpha }=0\\ H{({\eta }_1,{\eta }_2,\dots ,{\eta }_{2n})}_{n+\alpha }-l{\eta }_{\alpha }-k{\xi }_{\alpha }=0\end{array}\}(\alpha =1,2,\dots ,n).$$

Но так как $H$ есть однородная квадратичная функция своих аргументов, то
$$2H({\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_{2n})=\sum _{\lambda =1}^{2n}{\xi }_{\lambda }H{({\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_{2n})}_{\lambda }.$$

Совместно с двумя первыми уравнениями системы 1 это дает:
$$2H({\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_{2n})=k\sum _{\alpha =1}^n({\xi }_{\alpha }{\eta }_{n+\alpha }-{\eta }_{\alpha }{\xi }_{n+\alpha }).$$

Аналогично
$$2H({\eta }_1,{\eta }_2,\dots ,{\eta }_{2n})=k\sum _{\alpha =1}^n({\xi }_{\alpha }{\eta }_{n+\alpha }-{\eta }_{\alpha }{\xi }_{n+\alpha }).$$

Умножая первое из уравнений (1) на ${\eta }_{\alpha }$, второе — на ${\eta }_{n+\alpha }$ и суммируя по $\alpha$ от 1 до $n$, получим:
$$\sum _{\lambda =1}^{2n}{\eta }_{\lambda }H{({\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_{2n})}_{\lambda }=l\sum _{\alpha =1}^n({\xi }_{\alpha }{\eta }_{n+\alpha }-{\eta }_{\alpha }{\xi }_{n+\alpha })$$

и аналогично:
$$\sum _{\lambda =1}^{2n}{\xi }_{\lambda }H{({\eta }_1,{\eta }_2,\dots ,{\eta }_{2n})}_{\lambda }=-l\sum _{\alpha =1}^n({\xi }_{\alpha }{\eta }_{n+\alpha }-{\eta }_{\alpha }{\xi }_{n+\alpha }).$$

Так как левые части этих уравнений совпадают, то
$$l\sum _{\alpha =1}^n({\xi }_{\alpha }{\eta }_{n+\alpha }-{\eta }_{\alpha }{\xi }_{n+\alpha })=0.$$

Так как $H$ есть определенная положительная форма, то уравнения (2) показывают, что ни $k$ и ни $\sum _{\alpha =1}^n({\xi }_{\alpha }{\eta }_{n+\alpha }-{\eta }_{\alpha }{\xi }_{n+\alpha })$ не могут равняться нулю; следовательно, $l$ равно нулю. Все корни уравнения $f(s)=0$ будут вида $ki$, где $k$ — отличная от нуля действительная величина. Если уравнение $f(s)=0$ имеет кратный корень $s^{\prime }j$-го порядка, то каждая из функций $f(s{)}_{\lambda \mu }$ делится нацело на ${(s-s^{\prime })}^{j-1}$.

В самом деле, пусть $c_1,c_2,\dots ,c_{2n}$ — некоторая определенная система действительных величин. Определим некоторую систему значений величин $q_1,q_2,\dots ,q_{2n}$ при помощи уравнений:
$$\begin{array}{rl}s{q}_{n+\alpha }+H{(q_1,q_2,\dots ,q_{2n})}_{\alpha }& =c_{\alpha },\\ -s{q}_{\alpha }+H{(q_1,q_2,\dots ,q_{2n})}_{n+\alpha }& =c_{n+\alpha }\end{array}\}(\alpha =1,2,\dots ,n),$$

так что
$$q_{\mu }=\sum _{\lambda =1}^{2n}\frac{f(s{)}_{\lambda \mu }}{f(s)}{c}_{\lambda }(\mu =1,2,\dots ,2n).$$

Пусть $s_{1}i$ — произвольный корень уравнения $f(s)=0$, а $m$ наименьшее положительное число, для которого все функции
$${(s-s_{1}i)}^m\frac{f(s{)}_{\lambda \mu }}{f(s)}$$

остаются конечными при $s=s_{1}i$. Если $s$ выбрано достаточно близко от $s_{1}i$, то $q_{\mu }$ может быть разложено в ряд:
$$(g_{\mu }+h_{\mu }i){(s-s_{1}i)}^{-m}+(g_{\mu }^{\prime }+h_{\mu }^{\prime }i){(s-s_{1}i)}^{-m+1}+\dots ,$$

где $g_{\mu },h_{\mu },g_{\mu }^{\prime },h_{\mu }^{\prime }$ означают некоторые действительные постоянные. Допустим, что величины $c_1,c_2,\dots ,c_{2n}$ выбраны таким образом, что $g_{\mu }$ и $h_{\mu }$ отличны от нуля. Подставляя эти значения $q_{\mu }$ в уравнения (3) и сравнивая коэффициенты при ${(s-s_{1}i)}^{-m}$, получим:
$$\begin{array}{r}H{(g_1,g_2,\dots ,g_{2n})}_{\alpha }-s_1{h}_{n+\alpha }=0,\\ H{(g_1,g_2,\dots ,g_{2n})}_{\alpha +n}+s_1{h}_{\alpha }=0,\\ H{(h_1,h_2,\dots ,h_{2n})}_{\alpha }+s_1{g}_{n+\alpha }=0,\\ H{(h_1,h_2,\dots ,h_{2n})}_{n+\alpha }-s_1{g}_{\alpha }=0\end{array}\}(\alpha =1,2,\dots ,n).$$

Сравнивая коэффициенты при ${(s-s_{1}i)}^{-m+1}$, получим:
$$\begin{array}{l}H{(g_1^{\prime },g_2^{\prime },\dots ,g_{2n}^{\prime })}_{\alpha }-s_1{h}_{n+\alpha }^{\prime }+g_{n+\alpha }^{\prime }=\\ =\{\begin{array}{lll}0& \text{ при }& m>1,\\ c_{\alpha }& \text{ при }m=1,\end{array}\\ H{(g_1^{\prime },g_2^{\prime },\dots ,g_{2n}^{\prime })}_{n+\alpha }+s_1{h}_{\alpha }^{\prime }-g_{\alpha }=\\ =\{\begin{array}{c}0\text{ при }m>1,\\ c_{n+\alpha }\text{ при }m=1,\end{array}\\ H{(h_1^{\prime },h_2^{\prime },\dots ,h_{2n}^{\prime })}_{\alpha }+s_1{g}_{n+\alpha }^{\prime }+h_{n+\alpha }=0\text{, }\\ H{(h_1^{\prime },h_2^{\prime },\dots ,h_{2n}^{\prime })}_{n+\alpha }-s_1{g}_{\alpha }^{\prime }-h_{\alpha }=0\\ (\alpha =1,2,\dots ,n)\text{. }\end{array}$$

Но согласно теореме Эйлера об однородных функциях:
$$2H(g_1,g_2,\dots ,g_{2n})=\sum _{\lambda =1}^{2n}{g}_{\lambda }H{(g_1,g_2,\dots ,g_{2n})}_{\lambda }$$

или в силу (4):
$$2H(g_1,g_2,\dots ,g_{2n})=s_1\sum _{\alpha =1}^n(g_{\alpha }{h}_{n+\alpha }-h_{\alpha }{g}_{n+\alpha })$$

и аналогично:
$$2H(h_1,h_2,\dots ,h_{2n})=s_1\sum _{\alpha =1}^n(g_{\alpha }{h}_{n+\alpha }-h_{\alpha }{g}_{n+\alpha }),$$

откуда, очевидно, вытекает, что величина
$$\sum _{\alpha =1}^n(g_{\alpha }{h}_{n+\alpha }-h_{\alpha }{g}_{n+\alpha })$$

отлична от нуля.

Кроме того, первые два уравнения (4) дают:
$$\sum _{\lambda =1}^{2n}{h}_{\lambda }^{\prime }H{(g_1,g_2,\dots ,g_{2n})}_{\lambda }+s_1\sum _{\alpha =1}^n(h_{\alpha }{h}_{n+\alpha }^{\prime }-h_{\alpha }^{\prime }{h}_{n+\alpha })=0,$$

а последние два уравнения (4) дают:
$$\sum _{\lambda =1}^{2n}{g}_{\lambda }^{\prime }H{(h_1,h_2,\dots ,h_{2n})}_{\lambda }-s_1\sum _{\alpha =1}^n(g_{\alpha }{g}_{n+\alpha }^{\prime }-g_{\alpha }^{\prime }{g}_{n+\alpha })=0.$$

Но при $m>1$ из первых двух уравнений (5) вытекает, что
$$\begin{array}{r}\sum _{\lambda =1}^{2n}{h}_{\lambda }H{(g_1^{\prime },g_2^{\prime },\dots ,g_{2n}^{\prime })}_{\lambda }-s_1\sum _{\alpha =1}^n(h_{\alpha }{h}_{n+\alpha }^{\prime }-h_{\alpha }^{\prime }{h}_{n+\alpha })-\\ -\sum _{\alpha =1}^n(g_{\alpha }{h}_{n+\alpha }-h_{\alpha }{g}_{n+\alpha })=0,\end{array}$$

а из последних двух уравнений (5) вытекает, что
$$\begin{array}{l}\sum _{\lambda =1}^{2n}{g}_{\lambda }H{(h_1^{\prime },h_2^{\prime },\dots ,h_{2n}^{\prime })}_{\lambda }+s_1\sum _{\alpha =1}^n(g_{\alpha }{g}_{n+\alpha }^{\prime }-g_{\alpha }^{\prime }{g}_{n+\alpha })+\\ +\sum _{\alpha =1}^n(g_{\alpha }{h}_{n+\alpha }-h_{\alpha }{g}_{n+\alpha })=0.\end{array}$$

Так как $H$ есть функция однородная и квадратичная, то имеют место следующие тождества:
$$\sum _{\lambda =1}^{2n}{h}_{\lambda }^{\prime }H{(g_1,g_2,\dots ,g_{2n})}_{\lambda }=\sum _{\lambda =1}^{2n}{g}_{\lambda }H{(h_1^{\prime },h_2^{\prime },\dots ,h_{2n}^{\prime })}_{\lambda }$$

и
$$\sum _{\lambda =1}^{2n}{g}_{\lambda }^{\prime }H{(h_1,h_2,\dots ,h_{2n})}_{\lambda }=\sum _{\lambda =1}^{2n}{h}_{\lambda }H{(g_1^{\prime },g_2^{\prime },\dots ,g_{2n}^{\prime })}_{\lambda }.$$

Из уравнений $(6),(9),(10)$ вытекает, что
$$\begin{array}{rl}\sum _{\alpha =1}^n(g_{\alpha }{h}_{n+\alpha }-h_{\alpha }{g}_{n+\alpha })& =s_1\sum _{\alpha =1}^n(h_{\alpha }{h}_{n+\alpha }^{\prime }-h_{\alpha }^{\prime }{h}_{n+\alpha })-\\ & -s_1\sum _{\alpha =1}^n(g_{\alpha }{g}_{n+\alpha }^{\prime }-g_{\alpha }^{\prime }{g}_{n+\alpha }),\end{array}$$

а из уравнений $(7),(8),(11)$ :
$$\begin{array}{rl}\sum _{\alpha =1}^n(g_{\alpha }{h}_{n+\alpha }-h_{\alpha }{g}_{n+\alpha })& =-s_1\sum _{\alpha =1}^n(h_{\alpha }{h}_{n+\alpha }^{\prime }-h_{\alpha }^{\prime }{h}_{n+\alpha })+\\ & +s_1\sum _{\alpha =1}^n(g_{\alpha }{g}_{n+\alpha }^{\prime }-g_{\alpha }^{\prime }{g}_{n+\alpha }).\end{array}$$

Сравнение этих формул дает:
$$\sum _{\alpha =1}^n(g_{\alpha }{h}_{n+\alpha }-h_{\alpha }{g}_{n+\alpha })=0,$$

что по доказанному невозможно. Поэтому предположение, что $m>1$, на основании которого получено уравнение (8), должно быть отброшено как неверное, и, следовательно, $m=1$. Поэтому: если $f(s)$ делится нацело на ${(s-s_{1}i)}^k$, то все функции $f(s{)}_{\lambda \mu }$, делятся нацело на ${(s-s_{1}i)}^{k-1}$.

Пусть $s_1,s_2,\dots ,s_r$ означают модули неравных корней уравнения $f(s)=0$. Тогда все функции $\frac{f(s{)}_{\lambda \mu }}{f(s)}$ могут обращаться в бесконечность только при $s=\pm s_{1}i,\pm s_{2}i,\dots ,\pm s_{r}i$. Обозначая через
$$(\lambda ,\mu {)}_{\rho }+i(\lambda ,\mu {)}_{\rho }^{\prime }$$
[где $(\lambda ,\mu {)}_{\rho }$ и $(\lambda ,\mu {)}_{\rho }^{\prime }$ являются действительными] коэффициенты при ${(s-s_{\rho }i)}^{-1}$ в разложениях Лорана функций $\frac{f(s{)}_{\lambda \mu }}{f(s)}$ по степеням $(s-s_{\rho }i)$ и замечая, что эти функции имеют полюсы только в точках $s=\pm s_{\rho }i$ ) и притом полюсы первого порядка, получим:
$$\frac{f(s{)}_{\lambda \mu }}{f(s)}=\sum _{\rho =1}^r\{\frac{(\lambda ,\mu {)}_{\rho }+i(\lambda ,\mu {)}_{\rho }^{\prime }}{s-s_{\rho }i}+\frac{(\lambda ,\mu {)}_{\rho }-i(\lambda ,\mu {)}_{\rho }^{\prime }}{s+s_{\rho }i}\}.$$

Следовательно, $\phi (t{)}_{\lambda \mu }$ равны коэффициентам при $\frac{1}{s}$ в разложениях выражений:
$$e^{s(t-t_0)}\sum _{\rho =1}^r\{\frac{(\lambda ,\mu {)}_{\rho }+i(\lambda ,\mu {)}_{\rho }^{\prime }}{s-s_{\rho }i}+\frac{(\lambda ,\mu {)}_{\rho }-i(\lambda ,\mu {)}_{\rho }^{\prime }}{s+s_{\rho }i}\}$$

в ряды Лорана по степеням $s$.

Но коэффициент при $\frac{1}{s}$ в разложении $\frac{e^{s(t-t_0)}}{(s-s_{\rho }i)}$ равен $e_{\rho }^{s(t-t_0)}i$, а коэффициент при $\frac{1}{s}$ в разложении $\frac{e^{s(t-t_0)}}{(s+s_{\rho }i)}$ равен $e^{-s_{\rho }(t-t_0)}i$. Поэтому
$$\phi (t{)}_{\lambda \mu }=2\sum _{\rho =1}^n\{(\lambda ,\mu {)}_{\rho }\cos s_{\rho }(t-t_0)-(\lambda ,\mu {)}_{\rho }^{\prime }\sin s_{\rho }(t-t_0)\}$$

и, следовательно, окончательно:
$$\begin{array}{r}{q}_{\mu }=2\sum _{\alpha =1}^n\sum _{\rho =1}^r[q_{n+\alpha }^0\{(\alpha ,\mu {)}_{\rho }\cos s_{\rho }(t-t_0)-(\alpha ,\mu {)}_{\rho }^{\prime }\sin s_{\rho }(t-t_0)\}-\\ -q_{\alpha }^0\{(n+\alpha ,\mu {)}_{\rho }\cos s_{\rho }(t-t_0)-(n+\alpha ,\mu {)}_{\rho }^{\prime }\sin s_{\rho }(t-t_0)\}]\\ (\mu =1,2,\dots ,2n).\end{array}$$

Эти формулы представляют общий интеграл уравнений движения. Следовательно, если полная энераия систелы, колеблющейся около стационарного состояния движения, есть определенная положительная квадратичная форма, то колебание может быть представлено при помощи тригонометрических функций от $t$, и стационарное движение устойчиво. Периоды нормальных колебаний равны соответственно $\frac{2\pi }{s_1},\frac{2\pi }{s_2},\dots$, где $\pm i{s}_1,\pm i{s}_2,\dots -$ корни уравнения $f(s)=0$, степень которого относительно $s^2$ равна числу нециклических координат системы.

Исследование остается одинаково справедливым как для простых, так и для кратных корней детерминантного уравнения.
Коэффициенты $(\lambda ,\mu {)}_{\rho },(\lambda ,\mu {)}_{\rho }^{\prime }$ связаны соотношениями:
$$(\lambda ,\mu {)}_{\rho }=-(\mu ,\lambda {)}_{\rho },(\lambda ,\mu {)}_{\rho }^{\prime }=(\mu ,\lambda {)}_{\rho }^{\prime },$$

и, следовательно,
$$(\lambda ,\lambda {)}_{\rho }=0.$$

Эти соотношения вытекают из равенств:
$$\begin{array}{rl}f(s)& =f(-s),\\ f(s{)}_{\lambda \mu }& =f(-s{)}_{\mu \lambda },\end{array}$$

являющихся следствием самого определения функций $f(s)$ и $f(s{)}_{\lambda \mu }$.
ЗАдАчА 1. Система после упрощения при помощи циклических координат имеет четное число $2k$ степеней свободы. Показать, что если циклические скорости очень велики (что будет, например, иметь место, если циклические координаты означают углы поворота быстро вращающихся маховиков), то $k$ колебаний имеют очень большие периоды, а другие $k$ колебаний — очень малые. А именно, периоды первых $k$ колебаний прямо пропорциональны циклическим скоростям, а периоды остальных колебаний обратно пропорциональны этим скоростям.

Пуанкаре указал ${}^1$, что если исследовать устойчивость при помощи метода малых колебаний, то некоторые обстоятельства могут оказаться незамеченными. Рассмотрим, например ${}^2$, материальную точку, находящуюся на внутренней стороне шарообразного сосуда, вращающегося с постоянной угловой скоростью вокруг вертикального диаметра. Если сосуд абсолютно гладкий, то равновесие точки в наиболее низком положении будет несомненно устойчивым, так как вращение сосуда не будет иметь на нее никакого влияния. Но если имеет место хотя бы незначительное трение между точкой и сосудом и если угловая скорость сосуда превосходит некоторое определенное значение, то точка будет искать выход наружу по некоторой спирали, пока она не займет такого положения, при котором будет вращаться вместе с сосудом наподобие конца конического маятника.