В предыдущем параграфе мы сделали допущение, что для всех действительных значений $t$ не имеют места ни взаимные столкновения тел, ни какие-либо другие разрывы непрерывности в движении системы. Первым, обратившим внимание на значение столкновения для математической теории задачи трех тел, был Пенлеве ${ }^{1}$. Он показал, что координаты тел будут являться регулярными функциями времени для всех значений последнего, если начальные значения переменных связаны такими зависимостями, что исключается возможность столкновения двух какихлибо тел по истечении конечного промежутка времени. Такого рода зависимости для ограниченной задачи трех тел (где имеется одна такая зависимость) установил Леви-Чивита ${ }^{2}$ и для общей задачи – Бискончини (Bisconcini) ${ }^{3}$. Однако эти зависимости выражаются аналитически очень сложными рядами и не могут быть применены непосредственно кроме случая, когда интервал времени между началом движения и моментом столкновения достаточно мал. Значительным шагом вперед явилось исследование Сундмена (Sundman) ${ }^{4}$, показавшего, что особенности в дифференциальных уравнениях, соответствующие столкновению двух тел, не являются существенными и могут быть устранены при помощи преобразования независимой переменной. Другими словами: переменные, характеризующие движение, и независимая переменная могут быть выбраны таким образом, что дифференциальные уравнения будут регулярными также и тогда, когда имеет место столкновение двух из трех тел ${ }^{5}$. Таким образом, мы получаем вещественное продолжение движения за момент столкновения ${ }^{6}$. Координаты могут быть вычислены для всех значений времени от $-\infty$ до $+\infty$, независимо от того, имеют ли место взаимные столкновения тел или нет, и для обоих
${ }^{1}$ Lecons sur la théorie anal. des éq. diff., cтp. 583, Paris 1897.
${ }_{2}^{2}$ Annali di Mat. (3), т. 9, стр. 1, 1909; Comptes Rendus, т. 136, стр. 82, 221, 1903.
${ }^{3}$ Acta Math., т. 30 , стр. 49.1905 ; см. далее H. Block, Medd. fron Lunds Obs., ceрия II, № 6, 1909; Arkiv f. Math., Astr. och Fys., т. 5, § 9, 1909.
${ }^{4}$ Acta Math., т. 36, стр. 105, 1912. Основные результаты этого мемуара были опубликованы впервые в «Acta Societatis Scient. Fennicae» 1906 и 1909. Этим мемуаром и была, по-видимому, вдохновлена в значительной мере теория униформизации аналитических функций Пуанкаре. Acta Math., XXXI, стр. 1, 1907.
5 Леви-Чивита устранил особенности в дифференциальных уравнениях ограниченной задачи трех тел при помощи элементарного преобразования. См. Acta Math., т. 30, стр. 306, 1906. В последующем мемуаре (Rend. d. Lincei, т. 24, стр. 61, 1915) он переносит свой метод на плоскую задачу трех тел. См. также Acta Math., т. 42, стр. 99, 1917.
${ }_{6}^{6}$ Переменные могут быть разложены по возрастающим степеням $\left(t_{1}-t\right)^{\frac{1}{3}}$, где $t_{1}$ – момент столкновения; в точке столкновения траектории имеют угловые точки.
больших расстояний между телами существует положительная нижняя граница $l$. Исключение при этом представляет только тот случай, когда одновременно сталкиваются все три тела. Последнее возможно, однако, лишь при очень частных видах движения, когда все постоянные моментов количества движения одновременно равны нулю ${ }^{1}$. Исключая из рассмотрения последний случай, Сундмен ввел новое независимое переменное при помощи уравнения:
\[
d t=\left(1-e^{-\frac{r_{0}}{l}}\right)\left(1-e^{-\frac{r_{1}}{l}}\right)\left(1-e^{-\frac{r_{2}}{l}}\right) d w{ }^{2}
\]
где $r_{0}, r_{1}, r_{2}$ – три взаимные расстояния между телами, а $l$ – уже упомянутая нижняя граница. Тогда координаты тел и время являются регулярными функциями от $w$ внутри полосы $w$-плоскости, имеющей конечную ширину $2 \Omega$ и ограниченной двумя прямыми, параллельными действительной оси и расположенными по разные стороны от нее. Между действительными значениями переменных $w$ и $t$ существует такое однозначное и непрерывное соответствие, что $w$ вместе с $t$ изменяется от $-\infty$ до $+\infty$.
Далее, Сундмен применяет преобразование Пуанкаре:
\[
w=\frac{2 \Omega}{\pi} \ln \frac{1+\tau}{1-\tau},
\]
при помощи которого указанная полоса $w$-плоскости преобразуется в круг единичного радиуса в плоскости переменной $\tau$. Этим самым координаты и время делаются регулярными функциями от $\tau$ внутри единичного круга $\tau$-плоскости. Поэтому они могут быть разложены при всех действительных значениях времени в сходящиеся ряды по $\tau$, независимо от того, имеют ли место взаимные столкновения тел или нет. При этом единственным исключением является случай одновременного столкновения всех трех тел.
