Определим теперь момент количества движения движущегося твердого тела относительно произвольной прямой и для произвольного момента времени.
Пусть $M$ – масса тела, центр тяжести которого $G$ имеет координаты $\bar{x}, \bar{y}, \bar{z}$ и компоненты скорости в момент времени $t-(\bar{u}, \bar{v}, \bar{w})$ в некоторой (покоящейся или движущейся) прямоугольной системе $O x y z$, начало $O$ которой неподвижно. Пусть, далее, $\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}$ – компоненты угловой скорости тела относительно точки $G$ по осям координат $G x_{1} y_{1} z_{1}$, параллельным $O x y z$ и проходящим через $G$, а $m$ – материальная точка тела, имеющая в момент времени $t$ координаты $x, y, z$ и компоненты скорости $u, v, w$.
Положим:
\[
\begin{array}{l}
x=\bar{x}+x_{1}, \quad y=\bar{y}+y_{1}, \quad z=\bar{z}+z_{1}, \\
u=\bar{u}+u_{1}, \quad v=\bar{v}+v_{1}, \quad w=\bar{w}+w_{1} .
\end{array}
\]
По определению центра тяжести, имеем равенства:
\[
\sum m x_{1}=0, \quad \sum m y_{1}=0, \quad \sum m z_{1}=0 .
\]
Так как, кроме того (§17),
\[
u_{1}=z_{1} \omega_{2}-y_{1} \omega_{3}, \quad v_{1}=x_{1} \omega_{3}-z_{1} \omega_{1}, \quad w_{1}=y_{1} \omega_{1}-x_{1} \omega_{2},
\]
то
\[
\sum m u_{1}=0, \quad \sum m v_{1}=0, \quad \sum m w_{1}=0 .
\]
Если теперь обозначим через $h_{3}$ момент количества движения тела относительно оси $O z$, то получим:
\[
\begin{aligned}
h_{3} & =\sum m(x v-y u)=\sum m\left\{\left(\bar{x}+x_{1}\right)\left(\bar{v}+v_{1}\right)-\left(\bar{y}+y_{1}\right)\left(\bar{u}+u_{1}\right)\right\}= \\
& =\sum m(\overline{x v}-\overline{y u})+\sum m\left(x_{1} v_{1}-y_{1} u_{1}\right)= \\
& =M(\overline{x v}-\overline{y u})+\sum m\left(x_{1}^{2} \omega_{3}-x_{1} z_{1} \omega_{1}-y_{1} z_{1} \omega_{2}+y_{1}^{2} \omega_{3}\right)= \\
& =M(\overline{x v}-\overline{y u})-G \omega_{1}-F \omega_{2}+C \omega_{3},
\end{aligned}
\]
где $A, B, C, F, G, H$ означают моменты инерции и девиации тела относительно осей $G x_{1} y_{1} z_{1}$. Аналогично имеем для моментов количества движения относительно осей $O x$ и $O y$ :
\[
\begin{array}{l}
h_{1}=M(\overline{y w}-\overline{z v})+A \omega_{1}-H \omega_{2}-G \omega_{3}, \\
h_{2}=M(\overline{z u}-\overline{x w})-H \omega_{1}+B \omega_{2}-F \omega_{3} .
\end{array}
\]
Отсюда по § 39 можно найти момент количества движения относительно любой прямой, проходящей через начало.
ДоБАВЛЕНИЕ. Если тело вынуждено вращаться вокруг одной из своих неподвижных точек, которая закреплена в пространстве, то центр тяжести можно не вводить. Пусть, в самом деле, $\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}$ – компоненты угловой скорости тела относительно неподвижной точки по осям произвольной (покоящейся или движущейся) прямоугольной системы координат, проходящих через эту точку, а $A, B, C, F, G, H$ – моменты инерции и девиации относительно этих осей. Компоненты скорости $u, v, w$ материальной точки $m$ с координатами $x, y, z$ будут (§17):
\[
u=z \omega_{2}-y \omega_{3}, \quad v=x \omega_{3}-z \omega_{1}, \quad w=y \omega_{1}-x \omega_{2} .
\]
Момент количества движения относительно оси $z$, т. е. $\sum m(x v-y u)$ можно теперь записать в виде:
\[
\sum m\left(x^{2} \omega_{3}-x z \omega_{1}-y z \omega_{2}+y^{2} \omega_{3}\right)
\]
или
\[
-G \omega_{1}-F \omega_{2}+C \omega_{3} .
\]
Аналогично для осей $x$ и $y$ :
\[
A \omega_{1}-H \omega_{2}+G \omega_{3}
\]
и
\[
-H \omega_{1}+B \omega_{2}-F \omega_{3} .
\]
